Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Поле произвольной системы излучателей

Предположим теперь, что над плоской поверхностью раздела двух сред, из которых одна является диэлектриком, а другая — проводником, расположена произвольная ограниченная в пространстве система токов.

Магнитную проницаемость обеих сред будем считать одинаковой и равной единице. Поставим целью найти векторный потенциал электромагнитного поля этой системы токов

Плоскость раздела сред примем за плоскость прямоугольной декартовой системы координат с осью направленной в сторону диэлектрика В этой системе координат компоненты векторного потенциала системы токов удовлетворяют трем скалярным неоднородным уравнениям Гельмгольца:

а векторы поля выражаются через векторный потенциал по формулам:

По § 7 гл. XXIX на границе раздела сред должны быть непрерывны тангенциальные компоненты электрического и магнитного векторов. В силу равенств (57) это приводит к следующим граничным условиям для компонент векторного потенциала:

где обозначения указывают, что берутся предельные значения соответствующих величин при приближении к поверхности соответственно сверху и снизу. Индексы применявшиеся в предыдущих параграфах, мы здесь не используем, чтобы не усложнять обозначений.

Преобразуем задачу (57) — (58), исключив с помощью интегральных преобразований дифференциальные операции по переменным Дифференциальные выражения по входящие в систему уравнений (56), имеют вид С выражениями этого вида мы уже встречались в § 1 гл. XXXV, где установили, что при изменении переменной в интервале к ним следует применять преобразование Фурье. Таким образом, мы должны дважды применить преобразование Фурье по координатам Осуществив это, придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

где

и граничным условиям:

Найдя решение системы (59), удовлетворяющее условию излучения на бесконечности и граничным условиям (63) — (65), мы получим возможность, используя формулы обратного преобразования Фурье, представить компоненты искомого векторного потенциала поля в форме интегралов от известных величин:

что и даст решение поставленной задачи.

Выкладки, приводящие к определению величин из системы (59) и условий (63)-(65), существенно облегчаются тем, что каждое из первых двух уравнений (59) можно решать независимо от остальных уравнений. Действительно, граничные условия (63)-(65) можно разбить на группы:

Каждая из первых двух групп условий независима от остальных, откуда и вытекает сделанное утверждение.

Рассматриваемое обстоятельство особенно существенно тогда, когда свойства среды зависят от одной из координат (меняются с высотой). Выбрав в качестве последней координату можно решать задачу последовательно, найдя сначала функции и затем подставив их в третье уравнение (см. задачи 2 и 3).

Из условий (67)-(69) также следует, что при наличии системы токов, параллельных границе раздела сред, нормальную к границе составляющую векторного потенциала нельзя положить равной нулю, так как тогда нельзя удовлетворить граничным условиям (69) Однако, если горизонтальный ток линеен, например, для определенности, течет вдоль оси то можно положить При этом, как мы увидим в следующем параграфе, система граничных условий (67) — (69) может быть удовлетворена.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление