Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Вертикальный излучатель в однородной среде над идеально проводящей плоскостью

Рассмотрим ограниченную в пространстве систему вертикальных токов, обладающую симметрией вращения относительно вертикальной оси. Будем называть ее вертикальным излучателем, а ее ось симметрии —осью излучателя. Излучение будем считать происходящим в заполненное однородным диэлектриком полупространство ("однородная атмосфера"), ограниченное горизонтальной плоскостью, являющейся границей идеального проводника (поверхность "земли").

Введем цилиндрические координаты с осью направленной по оси излучателя, и началом на горизонтальной плоскости, уравнение которой в силу этого будет иметь вид: В соответствии с § 1 для отыскания электромагнитного поля излучателя надо решить неоднородное уравнение Гельмгольца для компоненты векторного потенциала. Так как поле обладает симметрией вращения относительно оси излучателя, это уравнение в координатах будет иметь вид:

причем компонента не будет зависеть от

С помощью формул, приведенных в задаче 2 к § 1, найдем, что компоненты векторов поля в рассматриваемом случае будут равны

т. е. поле вертикального излучателя представляет систему волн со взаимно перпендикулярными электрическим и магнитным векторами.

Согласно § 7 гл. XXIX единственное граничное условие, не выполняющееся на границе идеального проводника тождественно, в силу уравнений Максвелла, состоит в том, что тангенциальная компонента электрического вектора должна обращаться на границе в нуль. Это, в силу равенств (4), будет выполнено, если положить

Наконец, на бесконечности должно быть выполнено условие излучения:

Исключим из уравнения (3) с помощью интегрального преобразования операции дифференцирования по координате Рассмотрим с этой целью дифференциальное выражение

для которого откуда по формулам (17) гл. XXXIII:

Следовательно, ядро искомого интегрального преобразования должно быть решением уравнения

Делением на это уравнение приводится к уравнению Бесселя нулевого порядка:

ограниченными решениями которого являются функции Бесселя Таким образом, следует применить преобразование Ханкеля (гл. XXXIII, § 5, п. 4°) при Осуществив это преобразование, приведем задачу (3) -(5) к виду:

Общее решение уравнения (10) равно

где произвольные постоянные, а через обозначен тот корень из вещественная часть которого положительна. Так как система токов излучателя по предположению

ограничена в пространстве, вследствие чего начиная с некоторых функция то интегралы от выражений, содержащих множителем эту функцию, ограничены. Поэтому, чтобы обеспечить обращение в нуль функции при достаточно положить

Граничное условие (11), как легко видеть, даст

Подставив найденные значения постоянных в решение (12) и доопределив функцию для четным образом, т. е. положив окончательно получим

Обратное преобразование Ханкеля

даст решение поставленной задачи в форме некоторого определенного интеграла, который мы не будем здесь выписывать подробно. Рассмотрим некоторые важные частные случаи. Если излучатель представляет цилиндрический стержень радиуса расположенный в области а плотность тока в поперечном сечении стержня распределена по закону

где постоянная, то

Заметим, что полный ток, текущий через поперечное сечение стержня,

Если мы заставим стремиться к нулю, одновременно увеличивая плотность тока так, чтобы величина полного тока оставалась неизменной, то получим

Этот случай соответствует вертикальному отрезку провода, поперечник которого пренебрежимо мал (вертикальный линейный ток).

Подставив выражение (19) в равенство (15), для значений лежащих вне интервала получим

Если точку сближать с точкой то, пользуясь разложением в ряды по малым разностям найдем, что

Одновременно с уменьшением разности будем увеличивать так, чтобы произведение

сохраняло неизменное значение. В пределе, при придем к случаю колебательного электрического диполя с вертикальной осью и моментом расположенного в точке Соотношение (20) примет при этом вид

Выражения для могут быть здесь объединены в одно:

пригодное при всех Подставив это выражение в формулу (16) и вспомнив, что получим:

Этот интеграл может быть вычислен с помощью известной из теории бесселевых функций формулы

в силу которой

Эта формула допускает интересную интерпретацию.

Легко показать, что для диполя, расположенного в бесконечной однородной среде, направленная вдоль его оси компонента векторного потенциала равна

где расстояние от диполя до точки наблюдения. Сравним это выражение с (24). Величина У в (24) также представляет расстояние от диполя, расположенного в точке до точки наблюдения (координата в силу симметрии поля может иметь любое значение). Величина же формально представляет расстояние от точки наблюдения до точки представляющей зеркальное отображение точки в нижнем полупространстве относительно границы раздела сред (плоскость

Таким образом, приходим к следующему выводу. Поле, создаваемое одиночным вертикально ориентированным диполем в произвольной точке над идеально проводящей землей, таково же, как поле, которое создавалось бы в этой точке при отсутствии земли двумя такими же вертикально ориентированными и колеблющимися в одной фазе диполями, из которых один был бы расположен в той же точке, что и диполь а другой — в точке, представляющей ее зеркальное отражение относительно поверхности земли. В частности, отсюда следует, что поле диполя, расположенного на поверхности идеально проводящей земли, удваивается по сравнению с полем, которое создавалось бы в атмосфере при отсутствии земли. Действительно, при формула (24) даст

что равно удвоенному выражению (25)

ЗАДАЧИ

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление