Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава XXXVI. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ

§ 1. Введение

В этой главе рассмотрен ряд фундаментальных задач стационарной теории излучения электромагнитных колебаний. Постановка задач, в основном, следует монографии Г. А. Гринберга [21], однако решение их выполнено с помощью интегральных преобразований, что преследует важную цель еще раз проиллюстрировать применение этих последних.

Задачи рассматриваются в предположении, что имеется лишь одна плоская граница раздела между двумя однородными средами («землей» и «атмосферой»). Без существенного усложнения может быть принято предположение, что имеется ряд параллельных поверхностей раздела, на которых свойства сред испытывают разрывы (слоистые среды). При этом увеличится только число задаваемых граничных условий. Наконец, можно считать, что свойства сред зависят от одной из координат. Все эти обобщения содержатся в упомянутой монографии и могут быть осуществлены и при использовании интегральных преобразований.

Следуя Г. А. Гринбергу, будем предполагать, что распространение излучения происходит в средах, обладающих хотя бы ничтожной электропроводностью, чем достигается достаточно быстрое убывание поля на бесконечности, обеспечивающее сходимость используемых при выкладках интегралов.

При рассмотрении излучения электромагнитных колебаний удобной оказывается запись уравнений поля с помощью векторного потенциала А (гл. XXIX, § 6). Это видно, например, из следующего. Как было показано в § 6 гл. XXIX, векторный потенциал удовлетворяет системе уравнений Гельмгольца

где компоненты вектора плотности сторонних токов. Если сторонние токи параллельны некоторой оси (как это, например, имеет место в ряде типов антенн), то, выбрав эту ось в качестве одной из осей декартовой системы координат, видим, что система (1) удовлетворяется, если компоненты вектора А по двум другим осям положить равными нулю. Поскольку векторы поля могут быть выражены через векторный потенциал по формулам (50) гл. XXIX, то можно ожидать, что изучение поля в рассматриваемом случае приведется к решению задачи для одного скалярного неоднородного уравнения

Гельмгольца относительно одной из не равных тождественно нулю компонент векторного потенциала.

Так как кроме системы (1) векторный потенциал должен еще удовлетворять граничным условиям, то только что высказанное соображение о возможности положить две компоненты векторного потенциала равными нулю само по себе не имеет доказательной силы. Однако в важнейших случаях оно полностью или частично оправдывается, позволяя упростить задачу. Оставляя до § 5 выяснение условий, при которых рассматриваемое упрощение возможно, заметим, что если, введя это упрощение без дальнейшего обоснования, мы найдем решение задачи, удовлетворяющее граничным условиям, то оно и будет искомым решением в силу теоремы единственности решения системы уравнений Максвелла.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление