Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне, поверхность которого поддерживается при двух различных температурах

Рассмотрим бесконечный однородный цилиндрический стержень кругового сечения, температура которого в начальный момент времени равна нулю. В последующие моменты времени поверхность стержня на участке длиной 21 поддерживается при температуре а остальная часть поверхности — при нулевой температуре. Требуется определить распределение температуры в стержне.

В цилиндрических координатах с осью направлений по оси стержня, и началом, выбранным так, чтобы плоскость делила участок, поддерживаемый при температуре пополам, распределение температуры удовлетворяет уравнению

начальному условию

и граничному условию

Распределение температуры, очевидно, симметрично относительно плоскости поэтому достаточно рассмотреть часть стержня, расположенную в интервале При этом, в силу симметрии,

Последовательно применяя интегральные преобразования по переменным приведем задачу (13) — (15) к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Ядро интегрального преобразования позволяющего исключить операции дифференцирования по 2, должно удовлетворять уравнению

и граничным условиям:

Условие при вытекает из соотношения (16).

Отсюда ясно, что с точностью до множителя ядро К равно т. е. следует применить косинус-преобразование Фурье.

Осуществив это преобразование, приведем задачу к виду

где

Для исключения операции дифференцирования по воспользуемся преобразованием Лапласа, после чего получим обыкновенное дифференциальное уравнение

где

и граничное условие

Решением уравнения (17), ограниченным при согласно § 7 гл. XIII, является функция при

Принимая во внимание граничное условие (18), получим

Эта функция не имеет никаких особенностей на всей комплексной плоскости кроме полюсов.

Отсюда по формуле обращения для преобразования Лапласа найдем, что

если только постоянная может быть выбрана так, чтобы все полюсы подынтегрального выражения располагались слева от прямой Подынтегральное выражение имеет полюсы при а также при значениях удовлетворяющих уравнению

Отсюда, учитывая соотношение (19), найдем, что

где корни уравнения (21). Заметив, что в силу соотношения корни уравнения (21) чисто мнимые и равны по абсолютной величине корням функции Бесселя получим

где корни уравнения перенумерованные в порядке возрастания.

Таким образом, все полюсы подынтегрального выражения расположены в левой полуплоскости и на мнимой оси. Поэтому число можно выбрать так, чтобы все они были расположены слева от прямой

Теперь может быть применена теорема Коши о вычетах из которой следует, что интеграл в правой части (20) равен произведению на сумму вычетов подынтегральной функции в полюсах, расположенных слева от прямой В точке вычет подынтегрального выражения равен

Вычеты же в точках равны

Так как

то знаменатель последнего выражения может быть преобразован к виду

Составляя теперь сумму вычетов и подставляя ее в соотношение (20) вместо фигурирующего там интеграла, получим:

Осуществив обратное косинус-преобразование Фурье, найдем решение поставленной задачи:

ЗАДАЧА

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление