Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Стационарный поток тепла в параллелепипеде

Предположим, что грань Олга, прямоугольного параллелепипеда поддерживается при температуре тогда как с остальных граней происходит излучение в пространство с температурой, равной нулю. Поставим целью найти установившееся распределение температуры в таком параллелепипеде. При этом придем к задаче для уравнения Лапласа:

при граничных условиях

Исключим дифференциальные операции по Ядро К преобразования, исключающего операцию дифференцирования по должно быть решением граничной задачи

Подчинив общее решение уравнения (62) граничным условиям (63), получим систему однородных уравнений:

Решения этой системы, отличные от тривиального существуют только тогда, когда ее определитель равен нулю. Из этого условия, после элементарных преобразований, придем к следующему уравнению для определения собственных чисел Х:

При коэффициенты пропорциональны соответственно Таким образом, с точностью до постоянного множителя,

решения граничной задачи (62) -(63) имеют вид

Ядро прямого преобразования будет отличаться от (64) лишь нормирующим множителем где

Осуществив в интервале преобразование с найденным ядром, приведем задачу (60) -(61) к виду:

Совершенно аналогичным путем исключим дифференцирование и по координате после чего задача (65) -(66) примет вид:

где интегральное преобразование функции в интервале с ядром

где

а - корни уравнения

перенумерованные в порядке их возрастания.

Подчинив общее решение уравнения (67):

граничным условиям (68), для определения постоянных получим систему уравнений:

откуда

где

Осуществив обратные преобразования, получим решение исходной задачи (60) — (61) в форме двойного ряда

ЗАДАЧА

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление