Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Колебания мембраны

Рассмотрим задачу о малых колебаниях прямоугольной мембраны, закрепленной на краях.

Дифференциальное уравнение малых колебаний плоской однородной мембраны имеет вид (гл. VIII, § 1)

где смещение мембраны из положения равновесия, — давление, оказываемое на мембрану, натяжение мембраны. Плоскость, в которой лежит мембрана в положении равновесия, предполагается совпадающей с плоскостью Выбрав начало координат в вершине одного из углов мембраны и направив оси вдоль исходящих из этой вершины сторон, запишем граничные условия в форме

где - длины сторон мембраны. Начальные условия примем в общей форме:

Нам надо найти решение задачи в прямоугольнике

Применим интегральное преобразование дважды, чтобы исключить дифференциальные операции по координатам Положим

Для отыскания ядра преобразования К придем к граничной задаче:

нормированным решением которой служит функция

С помощью интегрального преобразования в интервале

с ядром — преобразуем задачу к виду:

где, по принятому соглашению, чертой над символом обозначен переход от исходных величин к их интегральным преобразованиям с рассматриваемым ядром.

Чтобы исключить дифференциальные операции также и по переменной положим

Для отыскания подходящего преобразования придем к задаче, совершенно аналогичной задаче (14) — (15), вследствие чего ядро К прямого преобразования будет иметь вид а собственные числа определятся выражением: Осуществив в пределах преобразование с ядром

приведем задачу (16) — (18) к виду

где

и аналогичными формулами определяются величины

Таким образом, путем двукратного применения интегрального преобразования задачу (11)-(13) мы привели к задаче для обыкновенного дифференциального уравнения (19). Обозначив решение этого последнего при начальных условиях (20) через на основании общего выражения для обратного преобразования, представим решение и задачи (16) -(18) в виде ряда

Осуществив обратное преобразование второй раз, получим решение исходной задачи (11) — (13):

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление