Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава XXXIV. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

§ 1. Колебания тяжелой нити

В качестве первого примера применения конечных интегральных преобразований рассмотрим задачу Даниила Бернулли о колебании тяжелой нити.

Дифференциальное уравнение малых колебаний однородной нерастяжимой тяжелой нити, подвешенной за верхний конец, имеет вид (гл. XIV, § 2):

где линейная плотность нити, удельная поперечная нагрузка нити, отклонение нити от положения равновесия. Ось х предполагается направленной вдоль нити вверх. Выбрав начало координат в точке, совпадающей с положением равновесия нижнего конца нити, граничное условие можно записать в виде:

где длина нити.

Начальное условие в общем случае имеет вид

где известные функции.

Поставим целью найти интегральное преобразование, позволяющее исключить дифференциальные операции по х. Положим

Для этого выражения:

Ядро преобразования является решением граничной задачи:

С помощью подстановки

уравнение (4) приведем к уравнению Бесселя нулевого порядка

Его решениями, ограниченными при являются функции Бесселя Следовательно, функции где положено представят ограниченные при решения уравнения (4). Чтобы удовлетворить второму из граничных условий (5), положим:

Корни этого уравнения и определят набор собственных чисел задачи (4)-(5).

Ядро преобразования, нормированное в соответствии с (37) предыдущей главы,

где

Для вычисления воспользуемся формулой (38) гл. XIII, согласно которой

Положив здесь получим:

Осуществив интегральное преобразование с ядром (8) и интервалом интегрирования и приняв во внимание, что преобразуем задачу к виду

где

Решение задачи при данном значении у обозначим через При этом решение задачи (1)-(3) можем записать в виде ряда

Читатель найдет для себя поучительным вычислить выражения для в различных частных случаях.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление