Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Функция Грина

Примем для простоты, что производная непрерывна на Тогда с помощью подстановки задача (7)-(8) преобразуется к виду

где отличны от но удовлетворяют (9) и (10).

Пусть решения уравнения (13), удовлетворяющие начальным условиям:

— их определитель Вронского. В силу (13) и (15) , поэтому

где функция не зависит от х и обращается в нуль тогда и только тогда, когда функции линейно зависимы, т. е. когда где с — постоянная. Согласно (15), функция их удовлетворяет первому из граничных условий (14), а второму. Поэтому, если при некотором они линейно зависимы, то каждая из них удовлетворяет обоим условиям (14) и, тем самым, есть собственная функция задачи есть собственное число. Следовательно, функция обращается в нуль тогда и только тогда, когда собственное число. Введем функцию

Она определена, если не собственное число, непрерывна по аргументам х и I, удовлетворяет граничным условиям (14), а при уравнению (13). При ее первая производная испытывает разрыв, в силу (16), равный

Если собственное число и то прямой подстановкой легко проверить, что функция

есть решение неоднородной граничной задачи для уравнения при граничных условиях (14). Функцию называют функцией Грина этой неоднородной задачи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление