Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава XXXI. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ РУПОРЫ И РЕЗОНАТОРЫ

§ 1. Секториалькый рупор и секториальный резонатор

Введем цилиндрические координаты и рассмотрим бесконечную область — положительные постоянные. Эту область будем называть векториальным рупором, а ее границу — стенками рупора. Стенки рупора будем считать идеально проводящими, а рупор заполненным идеальным диэлектриком с

Изучим возможные типы бегущих электромагнитных волн в секториальном рупоре. Для этого воспользуемся развитым в § 8 гл. XXIX представлением электромагнитного поля с помощью скалярных функций

Рассмотрим, например, решения уравнений Максвелла для рупора, представляющие волны электрического типа, т. е. волны, для которых компонента магнитного вектора равна нулю. Эти

волны выражаются через функцию и формулами гл. XXIX, которые в рассматриваемом нами случае примут вид:

где

Функция и должна удовлетворять уравнению (80) гл. XXIX, представляющему в рассматриваемой задаче уравнение Гельмгольца:

На стенках рупора тангенциальные составляющие электрического вектора должны обращаться в нуль (гл. XXIX, § 7), т. е. должно быть:

Чтобы удовлетворить этим условиям, необходимо положить:

Будем искать решения задачи вида:

Общее выражение для решений уравнения Гельмгольца этого вида дается формулой (50) гл. XXIV:

где

А — произвольная постоянная, решение уравнения Бесселя. Подставив это выражение в условия (8) и (9) найдем, что

В качестве функций выберем функции Ханкеля первого рода Как мы знаем (гл. XXIV, § 5), при таком выборе

функций только при таком выборе) наше решение представит систему бегущих волн, расходящихся на бесконечности. При наше решение будет испытывать бесконечный разрыв. Это должно быть интерпретировано в том смысле, что отрезок представляет линейный источник волн. В веден разрывного решения можно было бы избежать, исключив из рассматриваемой области сектор и задав ток на его границе который играл бы роль источника поля. В общем выражении для решения это, однако, ничего бы не изменило.

Таким образом, общее выражение функции и для бегущей волны электрического типа в секториальном рупоре имеет вид:

где вместо подставлено его выражение (3). Отметим, что в отличие от ранее рассматривавшихся нами задач, в этом решении фигурируют бесселевы функции, порядок которых, вообще говоря, не является целым.

Рассмотрим некоторые особенности бегущих волн электрического типа в секториальном рупоре. Для этого воспользуемся асимптотическим выражением (64) гл. XIII для функций Ханкеля 1-го рода, из которого найдем, что при достаточно больших значениях

Предположим, что

При этом число вещественно и из выражения (13) следует, что бегущие волны в секториальном рупоре распространяются при больших с фазовой скоростью с, а их амплитуда с ростом убывает как

Если же неравенство (14) имеет обратный знак, то бегущие волны вообще невозможны. В самом деле, при этом где вещественное число. Следовательно,

Умножив это выражение на убедимся, что ему соответствует система стоячих волн с амплитудой, убывающей по

показательному закону. Таким образом, существует некоторая критическая частота

такая, что при всех меньших частотах бегущие волны с данным невозможны. При этом значению соответствует волна, не зависящая от координаты Эта волна может быть бегущей при всех частотах. При волны по координате имеют периодическую структуру. Введем длину волны

соответствующую электромагнитным колебаниям с круговой частотой Из соотношения (15) найдем, что

т. е. для возможности существования бегущей волны с ее длина должна укладываться в интервале 2а не менее раз.

Обратимся теперь к выражениям для векторов поля. Нетрудно видеть, что в общем случае при больших значениях компоненты векторов поля убывают с ростом как а компоненты как т. е. ими, по сравнению с первыми тремя компонентами, можно пренебречь. Если, кроме того, то и существенны только компоненты т. е. волна близка к чисто поперечной.

Предположим теперь, что с помощью идеально проводящей перегородки, поверхность которой расположена при мы отделили конечную часть рупора: Образовавшуюся при этом полость с идеально проводящими стенками назовем векториальным резонатором.

Как мы знаем (§ 2—3 гл. XXIV), в ограниченной области возможны свободные колебания. Поставим целью определить, какие именно колебания электрического типа возможны в секториальном резонаторе. Для этого надо найти собственные функции задачи для уравнения Гельмгольца (4) в области, занятой резонатором, при граничных условиях, соответствующих колебаниям электрического типа. Каждая из собственных функций и определит одно из возможных колебаний, которое не может быть представлено в виде наложения колебаний, соответствующих другим собственным функциям. Наоборот, ввиду полноты системы собственных функций, любое возможное колебание электрического типа сможет быть представлено в виде комбинации найденных нами колебаний.

К граничным условиям (5) и (6) для секториального резонатора добавится граничное условие

Чтобы удовлетворить этому условию, надо положить

Далее потребуем, чтобы поле в резонаторе было ограничено, в силу чего в выражении (9) мы должны положить:

Чтобы выполнялось граничное условие (16), числа должны удовлетворять уравнению

Через обозначим корни этого уравнения, перенумерованные в порядке их возрастания, при значении определенном соотношениями (10).

Выбор остальных величин в выражении (9) будет определен теми же условиями, как и для секториального рупора, вследствие чего собственные функции рассматриваемой задачи могут быть представлены в виде:

Колебания электрического типа, соответствующие этим собственным функциям, могут быть охарактеризованы тремя числами

Возможные частоты колебаний найдем из соотношения (12), разрешив его относительно частот что даст:

Из этого выражения ясно, что наименьшая из частот свободных колебаний равна

ЗАДАЧА

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление