Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Волны в диэлектрическом стержне

Выше мы рассматривали волноводы, осуществляемые с помощью проводящих поверхностей. Замечательно, что волновод может быть осуществлен в виде стержня из диэлектрика.

Рассмотрим такой стержень, имеющий форму круглого цилиндра радиуса и находящийся в диэлектрической среде. В дальнейшем индексом а будем обозначать величины, относящиеся к среде и полю в ней, сохраняя для поля в стержне те же обозначения, что были приняты в предыдущих параграфах для поля внутри волноводов с проводящими стенками. Задачу будем рассматривать в цилиндрических координатах с осью направленной по оси стержня.

Общая схема решения остается той же, что была изложена в § 3 и применена в § 4. Для решения задачи также достаточно найти только продольную компоненту электрического вектора, после чего остальные компоненты могут быть найдены простым дифференцированием (см. задачу 2 к § 3). Однако в рассматриваемом случае эта компонента будет удовлетворять двум уравнениям Гельмгольца вида (44), одно из которых будет относиться к стержню, а другое — к среде. Именно, для поля в стержне будем иметь уравнение

а для поля в среде — уравнение

Здесь мы, с учетом формулы (26), явно выписали выражение (45) для параметров

Покажем возможность распространения вдоль электрического стержня незатухающих ТМ-волн с амплитудой, быстро убывающей при удалении от стержня.

При распространении ТМ-волн на границе стержня должны удовлетворяться условия сопряжения (63) гл. XXIX, заключающиеся в равенстве тангенциальных компонент поля внутри и вне стержня:

Здесь отсутствует условие для компонент так как в ТМ-волнах они равны нулю. Из уравнений, приведенных в задаче 2 к § 3, следует, что эти условия эквивалентны следующим:

куда входят уже только компоненты

Кроме уравнений (60) и (62), продольная компонента электрического вектора должна удовлетворять также уравнениям вида (21):

определяющим ее зависимость от координаты Как мы видели в § 3, из числа решений этих уравнений следует выбрать те, для которых зависимость от координаты давалась бы множителями вида и Из условия равенства тангенциальных компонент при этом сразу вытекает, что

Как мы знаем (гл. XXIV § 4), частные решения системы уравнений (60), (62) и (67), имеющие требуемую зависимость от координаты и период по угловой координате могут быть записаны в форме:

где постоянные, и -цилиндрические функции.

Для компоненты электрического вектора в среде, окружающей стержень, будем искать решения, быстро убывающие с ростом Из асимптотических формул гл. XIII следует, что решениями уравнения Бесселя, быстро убывающими с ростом аргумента, являются функции Ханкеля первого рода при мнимом

значении аргумента. Поэтому положим;

где вещественное число и

От функций Ханкеля с мнимым аргументом удобнее перейти к функциям Макдоиальда (гл. XIII, § 7):

имеющим вещественные значения при всех вещественных значениях При этом выражение (70) можем записать в виде:

Так как поле в стержне должно быть ограничено, то в выражении (69) следует положить

что

Подставив найденные выражения в граничное условие (64), получим:

Так как функции не имеют общих корней, это соотношение может выполняться при всех значениях только при условии

откуда следует, что

Обратимся к граничному условию (65). При т. е. для ТМ-волн с амплитудой, зависящей только от координаты оно выполняется тождественно. Если же то из равенств (68) и (71) и выражений для следует, что граничное условие (65) эквивалентно следующему:

Отсюда, в силу граничного условия (64), вытекает условие

которое, с учетом соотношений (61) и (63), может быть записано в форме:

Следовательно, в общем случае, при ТМ-волн интересующего нас типа с индексом в диэлектрическом стержне существовать не может.

Перейдем, наконец, к граничному условию (66). С помощью рекурентных формул гл. XIII найдем, что

Поэтому, подставив в граничное условие (66) выражения (72) и (73), получим:

Присоединим к этому уравнению также соотношения:

Три уравнения связывают четыре величины ( Одна из них, например может быть поэтому задана независимо от других, после чего из уравнений определятся значения ( Как было установлено, для быстрого убывания поля при удалении от стержня параметр должен быть вещественным. Постоянная распространения 7 также должна быть вещественной, так как иначе волны будут затухать в направлении распространения. Таким образом, возникает вопрос, имеют ли уравнения в некоторой области изменения со вещественные решения для совместимые с граничными условиями.

Предположим сначала, что выполнено условие (76). Тогда либо параметры оба равны нулю, либо при вещественном значении параметр имеет мнимое значение. Читателя не затруднит показать, что при волны интересующего нас типа невозможны. Поэтому остается только вторая возможность, о которой мы скажем ниже.

Перейдем к общему случаю. Если число у вещественно, то из формулы (78) вытекает, что параметр имеет либо вещественное, либо чисто мнимое значение.

Предположим второе. Тогда где вещественное число. С помощью указанной в гл. XIII формулы:

преобразуем выражение (73) к виду

где А — постоянная. Подставив это выражение, а также выражение (72) для в граничное условие (64), найдем, что

Так как функции неотрицательны, то постоянные одного знака. Подставим теперь выражения (80) и (72) в граничное условие (66), что приведет нас к уравнению

Это уравнение неразрешимо, так как его левая и правая части, при отличны от нуля и имеют разные знаки при всех В самом деле, функции монотонно растут с ростом аргумента а функции - монотонно убывают. Поэтому производные имеют разные знаки, из чего и вытекает сделанное утверждение.

Таким образом, при мнимом значении параметра мы не можем удовлетворить граничным условиям и, следовательно, интересующих нас решений не существует. Поэтому их не может быть и при условии (76), следствием которого является невозможность вещественных значений при вещественных значениях В соответствии со смыслом условия (76), отсюда вытекает, что ТМ-волны интересующего нас вида при вообще невозможны.

Предположим теперь, что и параметр имеет вещественное значение. Покажем, что при этом уравнения (77—79) в некоторой области изменения со имеют вещественные решения для если

Необходимость последнего условия ясна, если сложить уравнения (78) и (79) и заметить, что Достаточность вытекает из следующего.

Зададим некоторое отличное от нуля значение величины Правая часть уравнения (77) примет при этом фиксированное значение. Будем теперь изменять Так как функции имеют общих корней, то отношение

с ростом будет бесконечное множество раз принимать неограниченно большие и неограниченно малые значения. В силу непрерывности отношения а при среди Этих значений будут и такие, и притом в неограниченном числе, для которых уравнение (77) будет удовлетворяться. Таким образом, каждому фиксированному значению будет соответствовать бесчисленное множество неограниченно возрастающих с ростом индекса значений являющихся корнями уравнения (77).

Ввиду непрерывности правой части уравнения (77) величины явятся непрерывными функциями

Подставив в уравнение (78) и сложив последнее с уравнением (79), получим соотношение

которое, при выполнении условия (81), в некоторой области изменения частоты определит параметры как непрерывные вещественные функции от Наконец, из уравнения (79) найдем, что

Таким образом, при вещественных значениях в некоторой области изменения со система уравнений действительно имеет вещественные корни. Это завершает доказательство существования ТМ-волн, указанного в начале параграфа типа.

Определим область частот, для которой ТМ-волны распространяются в диэлектрическом стержне без затухания.

Так как, по доказанному, любому вещественному значению соответствует набор значений из соотношения (82) заключим, что любому достаточно большому значению частоты соответствует вещественное значение параметра Но тогда из соотношения (83) вытекает, что Поэтому сверху область частот, для которых ТМ-волны распространяются в стержне без затухания, не ограничена.

Наоборот, из соотношения (82) следует, что частота волны с данным снизу ограничена критическим значением

где наименьшее значение выражения -Определим наинизшую критическую частоту Уравнение (77) при имеет вид:

Из выражения (72) следует, что критические условия, при которых поле вне стержня перестает экспоненциально убывать с ростом достигаются при Уравнение (84) при принимает вид:

Корень в силу формул (82) и (83), соответствует значениям при которых нет бегущей волны. Следующий корень

равен

где наименьший корень уравнения С помощью формул (82) и (79) найдем теперь искомую наинизшую критическую частоту:

и соответствующее ей значение постоянной

ЗАДАЧИ

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление