§ 6. Волны в коаксиальном кабеле
Коаксиальным кабелем (или коаксиальной линией) называется направляющая система, в которой волны распространяются в диэлектрике, заполняющем пространство между двумя круговыми проводящими цилиндрами, имеющими общую ось (рис. 52). Простота конструкции и надежное экранирование поля внешним цилиндром привели к широкому распространению коаксиальных кабелей в технике. Поскольку граница диэлектрика в коаксиальном кабеле не является односвязной, вдоль него могут распространяться ТЕМ-волны, частоты которых не ограничены ни условиями отсечек, ни дисперсией. С рассмотрения этих волн мы и начнем.
Рис. 52
Введем цилиндрическую систему координат
с осью
направленной вдоль общей оси проводящих цилиндров. В этой системе координат касательная составляющая электрического и нормальная составляющая магнитного векторов на границе проводников будут соответственно равны и
так что граничные условия будут иметь вид
Но, как следует из задачи 3 к § 3, произведения
в кольцевой области, ограниченной проводниками, являются гармоническими функциями. Поскольку они обращаются в нуль на границах
области, то по теореме § 4 гл. XIX они тождественно равны нулю внутри области. Таким образом, в ТЕМ-волне
Из соотношений, приведенных в задаче 3 к §3, получим соотношения:
Первое и последнее из них показывают, что поле ТЕМ-волны в коаксиальном кабеле не зависит от
Второе и последнее дают
где
-постоянная. Таким образом, в силу (34), поле ТЕМ-волны в коаксиальном кабеле с точностью до произвольного множителя определяется выражениями
Перейдем к
и ТЕ-волнам. Их продольные компоненты удовлетворяют уравнениям Гельмгольца (44) и (55) и граничным условиям
где
— радиусы внутренней и внешней цилиндрической поверхностей. Как и в § 4 и 5, частные решения этих уравнений могут быть представлены в виде произведения
где
— цилиндрическая функция порядка
—произвольное целое положительное число,
-собственное значение соответствующей задачи. В отличие от случая волноводов круглого сечения теперь, однако, нет оснований отбрасывать те решения второго из уравнений (46), которые при
обращались в бесконечность, поскольку точка
не принадлежит полю. Поэтому следует положить
что, в силу граничных условий (56), в случае ТМ-волн приведет к следующим уравнениям относительно
Отличные от нуля решения этой системы существуют только тогда, когда ее определитель обращается в нуль, т. е. если
Этим уравнением определяются для данного
собственные значения
дающие решение задачи.
В случае ТЕ-волн в систему для определения коэффициентов
войдут не функции
а их производные по
Дальнейшее исследование распространения волн в коаксиальном кабеле предоставляется читателю. Для определения корней уравнения (59) могут быть использованы таблицы, приведенные Янке и Эмде [63].
ЗАДАЧА
(см. скан)