§ 6. Волны в коаксиальном кабеле

Коаксиальным кабелем (или коаксиальной линией) называется направляющая система, в которой волны распространяются в диэлектрике, заполняющем пространство между двумя круговыми проводящими цилиндрами, имеющими общую ось (рис. 52). Простота конструкции и надежное экранирование поля внешним цилиндром привели к широкому распространению коаксиальных кабелей в технике. Поскольку граница диэлектрика в коаксиальном кабеле не является односвязной, вдоль него могут распространяться ТЕМ-волны, частоты которых не ограничены ни условиями отсечек, ни дисперсией. С рассмотрения этих волн мы и начнем.

Рис. 52

Введем цилиндрическую систему координат с осью направленной вдоль общей оси проводящих цилиндров. В этой системе координат касательная составляющая электрического и нормальная составляющая магнитного векторов на границе проводников будут соответственно равны и так что граничные условия будут иметь вид

Но, как следует из задачи 3 к § 3, произведения в кольцевой области, ограниченной проводниками, являются гармоническими функциями. Поскольку они обращаются в нуль на границах

области, то по теореме § 4 гл. XIX они тождественно равны нулю внутри области. Таким образом, в ТЕМ-волне

Из соотношений, приведенных в задаче 3 к §3, получим соотношения:

Первое и последнее из них показывают, что поле ТЕМ-волны в коаксиальном кабеле не зависит от Второе и последнее дают

где -постоянная. Таким образом, в силу (34), поле ТЕМ-волны в коаксиальном кабеле с точностью до произвольного множителя определяется выражениями

Перейдем к и ТЕ-волнам. Их продольные компоненты удовлетворяют уравнениям Гельмгольца (44) и (55) и граничным условиям

где — радиусы внутренней и внешней цилиндрической поверхностей. Как и в § 4 и 5, частные решения этих уравнений могут быть представлены в виде произведения

где — цилиндрическая функция порядка —произвольное целое положительное число, -собственное значение соответствующей задачи. В отличие от случая волноводов круглого сечения теперь, однако, нет оснований отбрасывать те решения второго из уравнений (46), которые при обращались в бесконечность, поскольку точка не принадлежит полю. Поэтому следует положить

что, в силу граничных условий (56), в случае ТМ-волн приведет к следующим уравнениям относительно

Отличные от нуля решения этой системы существуют только тогда, когда ее определитель обращается в нуль, т. е. если

Этим уравнением определяются для данного собственные значения дающие решение задачи.

В случае ТЕ-волн в систему для определения коэффициентов войдут не функции а их производные по

Дальнейшее исследование распространения волн в коаксиальном кабеле предоставляется читателю. Для определения корней уравнения (59) могут быть использованы таблицы, приведенные Янке и Эмде [63].

ЗАДАЧА

(см. скан)