Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Дальнейшее рассмотрение направляемых волн

Каждая из компонент векторов электромагнитного поля, как мы знаем, удовлетворяет уравнению Гельмгольца. Если искать решение уравнения Гельмгольца в форме произведения мы придем к уравнению

которое, как легко видеть, распадается на два уравнения:

и

где -произвольное комплексное или вещественное число. Если комплексное или отрицательное вещественное число, то ограниченные в бесконечно удаленных точках решения

уравнения (21) представляют экспоненциально убывающие в направлении функции (см., например, § 2). Соответствующие им решения уравнения Гельмгольца представляют поэтому волны, экспоненциально затухающие в направлении Если же положительное вещественное число, то общий интеграл уравнения (21) равен

и решение уравнения Гельмгольца представляет суперпозицию двух незатухающих в направлении волн. Первая из них (как это легко видеть, умножив выражение (22) на при распространяется в отрицательном, а вторая — в положительном направлении оси Этот класс волн представляет особый интерес в теории направляемых волн, поскольку к нему принадлежат волны, которые могут распространяться вдоль волноводов без ослабления. В связи с этим в дальнейшем мы, в основном, сосредоточим внимание на следующей задаче: какие именно волны этого класса могут распространяться вдоль волноводов. При этом, считая, что параметр у может быть любого знака, зависимость от для каждой отдельной волны будем учитывать вводя в решение множитель

где у — произвольное вещественное число, получившее название постоянной распространения. Очевидно также, что достаточно рассматривать только случаи, когда так как при изменится лишь направление бегущих волн, в остальном же картина останется неизменной. Следует только помнить, что если возможна прямая волна, то возможна и обратная.

Таким образом, задача о направляемых волнах приведена нами к изучению полей, зависимость которых от координаты дается выражением (23). Заметим, что компоненты векторов поля при этом будут удовлетворять не только трехмерному, но и двумерному уравнению Гельмгольца (20), а производные по координате соотношениям

В дальнейшем введем также следующие упрощения. В предыдущем параграфе для рассматривавшегося там случая было показано, что при распространении волн в несовершенном диэлектрике амплитуда бегущих волн экспоненциально убывает. С физической точки зрения это обстоятельство является простым следствием того, что в несовершенном диэлектрике при прохождении волны возникают токи, а это приводит к рассеянию энергии волны за счет джоулева тепла. В связи с тем, что изучение этого последнего процесса не входит в нашу задачу, будем считать,

что распространение волн происходит в совершенном диэлектрике

Подставив соотношения (24) и в уравнения поля гл. XXIX и разрешив их относительно поперечных компонент, получим для этих последних следующие выражения:

из которых видно, что все поперечные компоненты векторов поля при могут быть найдены простым дифференцированием продольных компонент. Что же касается этих последних, то мы будем искать их как решения двумерных уравнений Гельмгольца вида (20):

В особом положении находится случай ТЕМ-волн, для которых Из (25) следует, что этот тип волн возможен только при так как при все компоненты ТЕМ-волн должны быть равны нулю. Подставив из (26) найдем, что для ТЕМ-волн

Для определения поперечных компонент ТЕМ-волны система (25) неприменима. Обращаясь снова к уравнениям поля гл. XXIX и подставляя у из (29), после несложных преобразований найдем, что в случае ТЕМ-волн система гл. XXIX сведется к четырем соотношениям:

Подставив в (31) выражения для из (30), получим

Дифференцируя это соотношение по и складывая с первым соотношений (31), продифференцированным по получим

Аналогичным путем получаются уравнения этого же вида и для остальных компонент, так что вообще

где двумерный оператор Лапласа. (Заметим, что уравнения (32) являются также простыми следствиями уравнения (20) при

Таким образом, и в общем случае мы имеем дело с положением, примерно аналогичным рассмотренному в § 2. Для решения задачи о распространении или ТЕ-волн надо найти решение скалярного уравнения Гельмгольца, определяющего продольную компоненту электрического или магнитного вектора, поперечные же компоненты векторов поля могут быть найдены дифференцированием. Задача о распространении ТЕМ-волн приводится к уравнению Лапласа, т. е. ее решениями служат хорошо изученные нами выше гармонические функции.

Если волновод представляет идеальный проводник, то, как было разъяснено в § 7 гл. XXIX, на его границе должна обращаться в нуль касательная составляющая электрического вектора. Поэтому решения уравнений или (32) должны быть подчинены граничному условию:

Этим условием определяется и набор допустимых значений дающих решение задачи.

Попробуем сделать некоторые заключения из полученных общих соотношений.

Начнем с поперечно-электромагнитных волн. Подставляя выражение (29) для у в (23) и умножая (23) на получим

где -скорость распространения электромагнитных волн в диэлектрике с проницаемостями (см. § 7 гл. XXIX). Таким образом, ТЕМ-волна всегда представляет бегущую волну со скоростью распространения не зависящей от частоты Поэтому, в частности, любая комбинация ТЕМ-волн разных частот, образующая волну сложного профиля, распространяется так, что этот профиль сохраняется. Как известно из теории интеграла Фурье, наложением гармонических волн, бесконечно протяженных в пространстве, можно получить сложную волну (волновой пакет),

амплитуда которой отлична от нуля лишь в ограниченной части пространства. По сказанному, такая волна, образованная наложением ТЕМ-волн, будет распространяться без искажения формы-, все время оставаясь локализованной лишь в ограниченной части пространства. Рассматриваемое свойство означает, что ТЕМ-волны распространяются без дисперсии.

Легко видеть, что из соотношений (30) вытекает перпендикулярность электрического и магнитного векторов в ТЕМ-волне, причем абсолютные величины взаимно-перпендикулярных компонент электрического и магнитного векторов взаимно-пропорциональны. Элементарное доказательство этого утверждения представляется читателю. Коэффициент пропорциональности

зависит только от свойств диэлектрика, в котором распространяется волна, и получил название характеристического сопротивления диэлектрика.

Наконец, отметим, что в силу уравнений (32), компоненты векторов поля ТЕМ-волны представляют гармонические функции аргументов в любой плоскости Это, во-первых, означает, что картина поля ТЕМ-волны в любой фиксированный момент времени совпадает с картиной статических электрического и магнитного полей, которые возникают при аналогичных граничных условиях. Во-вторых, отсюда следует, что эти компоненты представляют производные по и соответствующих потенциалов, также являющихся гармоническими функциями.

Из последнего обстоятельства очевидно, что ТЕМ-волны не могут распространяться внутри волновода с проводящими границами, охватывающими поле ТЕМ-волны и образующими в сечении с плоскостью замкнутый односвязный контур. Действительно, заряды на поверхности проводника образуют слой, электростатический потенциал которого одинаков во всех точках. Но гармоническая функция, принимающая постоянное значение на некотором контуре, имеет это же постоянное значение и внутри него. Поэтому компоненты электрического вектора (а в силу соотношений (30) и магнитного), являющиеся производными потенциала, в этом случае тождественно равны нулю и поле в волноводе отсутствует. Если, однако, поле волны не охватывается одним проводником, то указанное обстоятельство отпадает. Поэтому волноводом для ТЕМ-волн может служить провод, вне которого распространяется волна, система проводов, но не, например, внутренняя поверхность полого цилиндра и т. п.

Перейдем к рассмотрению поперечно-магнитных (ТМ) волн. В волнах этого типа составляющая и задача об их распространении, по сказанному выше, сводится к решению одного скалярного уравнения Гельмгольца (27).

Прежде всего рассмотрим проблему граничных условий, аналогичную рассмотренной в § 2. Решение уравнения Гельмгольца вполне определяется одним граничным условием, которое, в силу (33), должно быть следующим:

Но решение должно удовлетворять еще одному граничному условию: касательная составляющая электрического вектора в поперечной плоскости должна быть равна нулю. Покажем, что это условие выполняется автоматически в силу уравнений (25).

При система уравнений (25) может быть записана в следующем виде

откуда найдем, что

т. е. поперечные составляющие электрического и магнитного векторов взаимно перпендикулярны, причем абсолютные значения взаимно перпендикулярных компонент пропорциональны. В отличие от ТЕМ-волн коэффициент пропорциональности зависит также от свойств волновода, влияющих на значение постоянной распространения у. Так как магнитный вектор ТМ-волны является поперечным, из сказанного вытекает также, что магнитный вектор ТМ-волны перпендикулярен электрическому.

Пусть — угол между касательной к поверхности проводника в какой-либо точке поперечного сечения волновода и осью Производная компоненты по направлению равная

на поверхности проводника обращается в нуль в силу условия (35). Заметив, что в силу соотношений (36) касательная составляющая электрического вектора равна

придем к выводу, что при выполнении для точек границы граничного условия (35) выполняется и общее граничное условие Таким образом, граничное условие (35) в силу уравнений поля влечет за собой выполнение и общего граничного условия для электрического вектора.

Для дальнейшего анализа воспользуемся полученным выше при изучении теории уравнения Гельмгольца интегральным соотношением задачи 7 из § 6 гл. XXIV. Положив в нем и и заметив, что по в нем следует заменить через получим

Будем считать, что рассматриваемый волновод замкнут, т. е. в плоскости поле ограничено проводящими поверхностями. За V примем объем, выделенный проводящими стенками и двумя произвольными поперечными сечениями волновода. Тогда интеграл в правой части рассматриваемого интегрального соотношения обращается в нуль, так как на стенках волновода а на секущих плоскостях , поскольку компонента от не зависит. По Последней причине и в левой части этого соотношения пропадет один член, так что окончательно получим

При это равенство может соблюдаться только при условии, что Приняв во внимание равенство (26), запишем это условие в виде

где -квадрат скорости распространения электромагнитного поля в диэлектрике, заполняющем волновод, вещественное число. Как мы знаем из общей теории гл. XXIV, при заданных граничных условиях нетривиальные решения уравнения Гельмгольца (27) существуют, вообще говоря, не для всех значений разности Значения при которых существуют нетривиальные решения (собственные числа задачи), образуют бесконечную дискретную последовательность. Пусть наименьшее из чисел этой последовательности. Тогда из (38) мы найдем, что при

т. е. у — мнимое число и мы имеем дело с затухающим в направлении процессом. Таким образом, в общем случае существует такая характеризующая волновод критическая частота называемая обычно частотой отсечки, что ТМ-волны С частотой, меньшей не могут распространяться в волноводе без затухания.

Подставив в выражение (23)

и умножив (23) на найдем, что зависимость амплитуды волны от координаты и от времени для ТМ-волн в замкнутом волноводе дается множителем

где

— фазовая скорость, а

— длина ТМ-волны с частотой колебаний

Из выражения (41) вытекает, что фазовая скорость ТМ-волн больше скорости распространения электромагнитного поля в диэлектрике, заполняющем волновод, и зависит от частоты колебаний. Последнее обстоятельство указывает, что при распространении ТМ-волны имеет место дисперсия. Волновой пакет, образованный ТМ-волнами и первоначально локализованный в ограниченной части волновода, с течением времени будет все более «расплываться», увеличиваясь по длине. Групповая скорость распространения ТМ-волн (гл. XXIII, § 2) равна

С этой скоростью распространяется центр волнового пакета.

Изучение общего случая распространения в волноводах ТЕ-волн может быть проведено аналогичным путем. Отличие состоит только в том, что граничные условия для уравнения Гельмгольца (28) должны быть записаны в форме:

т. е. приходится решать однородную задачу Неймана, а не Дирихле. В дальнейшем же получаются те же выражения для частоты отсечки и фазовой и групповой скорости, что и для ТМ-волны. Убедиться в сказанном предоставляется читателю,

ЗАДАЧИ

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление