Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Волны между идеально проводящими плоскостями, разделенными диэлектриком

Изучим распространение плоской волны между двумя параллельными идеально проводящими плоскостями, отстоящими на расстояние Расположим начало координат на одной из плоскостей. Ось будем считать ориентированной по направлению распространения волны, а ось — перпендикулярной к рассматриваемым плоскостям и направленной так, чтобы уравнения плоскостей были

При этом выборе осей все величины не будут зависеть от и уравнения поля гл. XXIX примут вид:

где соответственно электропроводность и диэлектрическая и магнитная проницаемости диэлектрика, разделяющего проводящие плоскости.

Попробуем теперь представить рассматриваемую волну в виде суперпозиции ТЕ- и ТМ-волн (§ 1). Рассматривая систему уравнений (4) видим, что она распадается на две независимые системы:

и

в первую из которых входят только переменные а во вторую — только Поэтому решения систем и могут оказаться взаимозависимыми только тогда, когда взаимозависимы граничные условия для двух групп переменных: что в ряде интересных задач, как мы знаем, не имеет места.

Таким образом, если граничные условия могут быть разбиты на две группы, в одну из которых входят только переменные а в другую — только переменные и решение системы (4) существует, то его можно построить наложением решений системы и системы Но в силу соотношений (1) — (2), решение системы соответствует ТЕ-волнам, а системы — ТМ-волнам. Следовательно, при определенных условиях действительно могут существовать ТЕ- и ТМ-волны, распространяющиеся независимо друг от друга.

Отыскание ТЕ- и ТМ-волн сводится к решению одного скалярного уравнения Гельмгольца. Действительно, из уравнений (5а) и (6а) следует, что компоненты можно получить дифференцированием соответственно компонент так что достаточно определить эти последние. Но, как мы знаем (§ 1 гл. XXIX), каждая из компонент векторов поля

удовлетворяет уравнению Гельмгольца. Поэтому мы приходим к двум уравнениям Гельмгольца, первое из которых определяет ТЕ-, а второе ТМ-волны:

где по (46) гл. XXIX

Перейдем к рассмотрению граничных условий.

Как мы знаем (гл. XXIV, § 1), решение уравнения Гельмгольца в бесконечной области определяется заданием линейной комбинации искомой функции и ее нормальной производной на границе области и условий на бесконечности. Если на бесконечности удовлетворяется условие излучения, то решение однозначно. В этом случае, в частности, поле на бесконечности стремится к нулю. Однако в этой главе мы не будем интересоваться такого рода решениями, так как при изучении направляемых волн основной интерес представляют волны, не затухающие в направлении излучения, а поэтому и не убывающие безгранично в удаленных точках. Вследствие этого, в качестве условия на бесконечности, введем требование, чтобы искомое решение было ограниченным в бесконечно удаленной точке. При этом решения уравнения Гельмгольца, очевидно, заведомо не будут единственными, наша же цель будет состоять в том, чтобы выяснить, какие именно типы волн охватываются этими решениями.

Займемся теперь требованиями, предъявляемыми к решению на границе.

Согласно § 7 гл. XXIX на границе идеального проводника должна обращаться в нуль касательная составляющая электрического вектора и нормальная магнитного, т. е. должно быть

причем последнее условие является следствием первого. Для компонент граничные условия писать не нужно, поскольку скачки на границе определяются индуцированными проходящей волной электрическими слоями и поверхностными токами. Граничные значения даваемые решением, позволяют определить эти слои и токи.

Покажем, что если принять:

то условия (9) будут выполнены. Действительно, в силу второго из уравнений (6а) при имеем В силу же первого из уравнений (5а) так как вдоль границы переменная не меняется (равна нулю).

Решения уравнений будем искать по методу разделения переменных. Для этого искомое решение представим в виде произведения двух функций После подстановки в уравнение и разделения переменных получим

где

произвольное число. Общие интегралы этих уравнений:

Подчинив граничному условию найдем, что

и получим следующее выражение для собственных чисел граничной задачи, определяющей ТЕ-волны:

Отсюда, с точностью до несущественного произвольного множителя

причем собственное число соответствует тривиальному нулевому решению.

Подчиняя граничным условиям (116), получим и тот же спектр (14) собственных значений. Отсюда следует, что для ТМ-волн, с точностью до несущественного множителя,

Для отыскания подставим значение из (8) и в выражение для Это даст

Если электропроводность а диэлектрика, разделяющего проводящие плоскости, отлична от нуля, то -комплексное число, а поэтому его корень имеет отличную от нуля вещественную часть. Подставив в (13) и заметив, что в силу условия на бесконечности надо сохранить лишь тот член, который остается ограниченным при возрастании придем к выводу, что при решение для содержит экспоненциально убывающий множитель. В этом случае рассматриваемый волновой процесс экспоненциально затухает в направлении распространения.

Предположим теперь, что диэлектрик совершенный, т. е. Тогда

Для дальнейшего анализа это выражение удобно преобразовать, выразив круговую частоту через длину волны Имеем

где скорость распространения электромагнитного поля в диэлектрике между проводящими плоскостями. С другой стороны

и

В зависимости от значения имеем несколько случаев. Если

то вещественное число и рассуждения, аналогичные проведенным для показывают, что волновой процесс при данных экспоненциально затухает в направлении распространения. В частности, для между проводящими плоскостями возможны только затухающие ТЕ- и ТМ-волны. Если

т. е. полуволна целое число раз укладывается в интервале между двумя плоскостями, то и данным , в силу соотношений (14), (15) и (16), с точностью до множителя соответствуют решения

для ТЕ-волн и

для ТМ-волн, не зависящие от координаты Это означает, что в точках любой плоскости электромагнитные колебания в этих волнах происходят в одной фазе и с одинаковой амплитудой. Такие колебания представляют, очевидно, стоячие волны. В случае ТМ-волн при получаем постоянное магнитное поле. Наконец,

то

где — отличное от нуля вещественное число. В силу соотношений (14), (15) и (16), при таких значениях получим решения

для ТЕ-волн и

для ТМ-волн, которым соответствуют волны с амплитудами, меняющимися по законам:

Для большей наглядности запишем эти выражения, введя временной множитель Это даст

откуда ясно, что рассматриваемые волны бегущие, причем в первой и третьей из них фаза распространяется вдоль оси в отрицательном направлении, а во второй и четвертой — в положительном

с одинаковой фазовой скоростью

Поле ТЕ-волн обязательно зависит от координаты В случае же ТМ-волн при имеем волны

не зависящие от координаты т. е. плоские волны. В силу второго из уравнений (6а) в этом случае продольная компонента электрического вектора Отсюда заключаем, что этот тип волн представляет ТЕМ-волны.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление