Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Представление электромагнитного поля с помощью двух скалярных функций

С помощью формул § 7 гл. XVIII легко показать, что в произвольных ортогональных криволинейных координатах уравнения Максвелла (40) -(41) имеют вид:

где координатные параметры Ламе, а индексы принимают соответственно значения а также значения, получаемые круговой перестановкой чисел 1, 2, 3.

Будем считать, что сторонние токи отсутствуют, т. е. что . Для сокращения письма введем обозначения:

При этом уравнения (66) -(67) примут вид:

Предположим, что некоторая задача, поставленная для уравнений (69) -(70), допускает решения, при которых

или

где какой-либо индекс из числа индексов 1, 2, 3. Решения, удовлетворяющие условиям (71), будем называть решениями электрического типа, а условиям (72) — решениями магнитного типа.

Для решений электрического типа из уравнений (69) при следует, что

где индексы вместе с индексом образуют некоторую четную перестановку индексов 1, 2, 3. В отличие от греческих индексов которые могут означать любую четную перестановку индексов 1, 2, 3, все три индекса мы предполагаем фиксированными.

Из соотношения (73) вытекает, что компоненты электрического вектора могут быть представлены в виде

где - некоторая функция. Подставив эти выражения в уравнения (70) при и приняв во внимание, что получим

Предположим, что коэффициенты представимы в виде

Тогда, положив

где некоторая функция, мы тождественно удовлетворим уравнениям (75). Подставив выражения (77) для и Ну в то из уравнений (70), для которого получим

Наконец, в силу соотношений (74), найдем, что

Таким образом, с помощью четырех уравнений из шести уравнений (69)-(70), все компоненты векторов поля для решения электрического типа выражены нами через некоторую функцию и.

Подставив найденные выражения компонент векторов поля в те из уравнений (69), для которых получим:

Оба эти уравнения могут быть получены путем дифференцирования уравнения

где

и, следовательно, удовлетворяются, если функция и является решением уравнения (80). Тем самым мы видим, что надлежаще выбрав функцию и, мюжно построить выражения векторов поля, удовлетворяющие всем уравнениям Максвелла.

Собрав воедино выражения (77)-(79) компонент векторов поля для решений электрического типа и приняв во внимание уравнение (80), можем записать:

Исследовав подобным же образом решения магнитного типа, мы пришли бы к соотношениям:

где v - функция, также удовлетворяющая уравнению (80).

Таким образом, если рассматриваемая задача для уравнений Максвелла допускает представление решения в виде наложения решений электрического и магнитного типов, то для отыскания каждого из них достаточно найти одну скалярную функцию, которая является решением уравнения (80) при граничных условиях, обеспечивающих выполнение граничных условий для векторов поля. Если такая функция найдена, то векторы поля могут быть определены по формулам (82)-(83) или (84)-(85).

Выполнение соотношений (76) является необходимым условием существования решений электрического и магнитного типов. Можно показать, что эти условия в ортогональных системах координат выполняются по любой координате для которой координатными поверхностями служат либо параллельные плоскости либо концентричные сферические поверхности. Эти типы координат, однако, и исчерпывают все случаи выполнения соотношений (76).

Примерами координат, удовлетворяющих соотношениям (76), являются ортогональные декартовы координаты (в качестве можно выбрать любую из координат), цилиндрические координаты при сферические координаты при

Рассмотрим, например, сферические координаты. Для них:

и соотношения (76) удовлетворяются при Положим

При этом уравнение (80) примет вид:

С помощью подстановки:

оно может быть приведено к уравнению Гельмгольца:

Зная решения последнего уравнения, подчиненные условиям, которые обеспечивают выполнение граничных условий для решений соответственно электрического и магнитного типа, можно найти все векторы поля с помощью формул, очевидным образом вытекающих из формул Функции получили название потенциалов Дебая.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление