Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Условия на бесконечности и граничные условия

Типичными для системы уравнений стационарного электромагнитного поля являются задачи, в которых электромагнитное поле ищется в бесконечной области, в то время как причиной возникновения и поддержания стационарного состояния поля являются процессы, происходящие в конечной части пространства. При последнем условии компоненты векторов поля, а также векторного потенциала, ввиду (45), (47) и (48), в окрестности бесконечно удаленной точки удовлетворяют однородному уравнению Гельмгольца и можно воспользоваться результатами § 5 гл. XXIV.

Если в окрестности бесконечно удаленной точки электропроводность среды конечна, то, ввиду (46), и согласно § 5 гл. XXIV возможны два типа решений уравнения Гельмгольца: экспоненциально возрастающие и экспоненциально убывающие на бесконечности. При поставленных выше условиях физический смысл имеют только последние из них, из чего и вытекают требования к решению на бесконечности. Вообще достаточно потребовать не экспоненциального убывания решений, а только обращения в нуль на бесконечности (см., например, § 9).

Если же среда в окрестности бесконечно удаленной точки является диэлектриком, то и согласно § 5 гл. XXIV наряду с решениями уравнения Гельмгольца, представляющими волны, уходящие на бесконечность, существуют решения, представляющие волны, идущие из бесконечности.

Чтобы исключить эти последние, как не имеющие физического смысла, необходимо и достаточно, чтобы решение удовлетворяло условию излучения (62) гл. XXIV для каждой из компонент векторов поля (или векторного потенциала).

Условие излучения в форме (70) гл. XXIV охватывает оба случая:

Перейдем к граничным условиям на поверхностях, разделяющих среды с разными свойствами.

Будем считать, что скачкообразный переход свойств одной среды в свойства другой является предельным случаем непрерывного перехода, при котором свойства одной среды переходят в свойства другой непрерывным образом в некоторой малой области, примыкающей к поверхности раздела. Самую поверхность раздела будем считать кусочно-гладкой. При этих предположениях для установления граничных условий могут быть использованы формулы Остроградского-Гаусса и Стокса.

Рис. 50

Пусть поверхность раздела двух сред, о которых будем говорить как о среде и среде и пусть точка на внешняя нормаль к в точке За положительное примем направление нормали от среды к среде

Построим цилиндрическую поверхность С с осью, совпадающей с нормалью и радиусом где а — отвлеченное число, а произвольно выбранная единица длины. Пусть далее поверхности, получаемые смещением поверхности на расстояние соответственно в положительном и отрицательном направлении нормали Поверхности выделят некоторую замкнутую окрестность точки с границей, образованной участками построенных поверхностей (рис. 50).

Применив в окрестности к векторам формулу Остроградского-Гаусса, в силу уравнений (40) и (41), получим

Символы и означают проекции векторов на нормали к элементам поверхностей При стремлении числа а к нулю для площадей участков получим следующие оценки:

Применив к интегралу от теорему о среднем, получим

где знаки означают, что должно быть взято значение выражения, стоящего в квадратных скобках, лежащее между его максимальным и минимальным значениями соответственно на Устремив а к нулю и используя полученные оценки, найдем, что

где значками отмечены предельные значения величин при приближении к точке соответственно со стороны среды и среды Знак минус при связан с тем, что внешняя нормаль к участку направлена в сторону, противоположную внешней нормали к 5. Аналогичное соотношение получается и для нормальных компонент вектора с тем лишь отличием, что величина заменяется на а член, зависящий от плотности тока, отсутствует.

Таким образом, придем к следующим граничным условиям для нормальных компонент векторов поля:

Обратим внимание на первое из них. В его правой части стоит разность нормальных компонент плотности тока. Отличие ее от нуля указывает на различие между притоком зарядов к поверхности раздела и оттоком от нее. Так как каждая из рассматриваемых нами величин представляет комплексную амплитуду колебаний, происходящих с частотой то это различие между притоком и оттоком означает, что происходит

периодическое колебание заряда на поверхности раздела, т. е. на этой последней располагается простой колебательный электрический слой.

Чтобы получить граничные условия для касательных компонент электрического и магнитного векторов, рассмотрим контур образованный линиями пересечения произвольной плоскости 2, проходящей через нормаль в точке с участками (рис. 51). Пусть участок указанной плоскости, ограниченный контуром Для упрощения дальнейших выкладок введем прямоугольную систему декартовых координат с началом в точке и осями и где указанная выше нормаль, ось, направленная по касательной к поверхности раздела, лежащей в плоскости 2, а ось направлена так, чтобы система координат была правая.

Рис. 51

Записав уравнения Максвелла (40) и (41) в компонентах по осям получим систему из шести уравнений для компонент. Возьмем из этой системы два уравнения:

Проинтегрируем второе из этих уравнений по площадке

Так как ось перпендикулярна плоской площадке левую часть последнего соотношения можно преобразовать с помощью формулы Стокса для плоской области, что даст

Контур разобьем на части образуемые пересечением секущей плоскости 2 соответственно с участками и цилиндрической поверхностью рис. 51). Площадку разобьем на две части и из которых одна лежит в среде а другая в среде Вспомнив, что участки по условию отстоят от поверхности раздела сред на расстояние и устремив радиус рассматриваемого цилиндра к нулю, получим следующие оценки:

где площадки участков длины участков Кроме того, на тождественно Применив к соотношениям (58) и (59) теорему о среднем и используя найденные оценки, получим:

где, как и выше, значки означают, что должно быть взято значение выражения, стоящего в квадратных скобках, лежащее между его максимальным и минимальным значениями на соответствующем участке.

Если электропроводность а обеих соприкасающихся сред ограничена, то и объемная плотность тока ограничена. Поэтому, осуществив в соотношении (60) предельный переход, придем к соотношению:

Так как

окончательно получим

Совершенно аналогичным путем, используя первое из уравнений (57), найдем и граничное условие для тангенциальных компонент электрического вектора:

Таким образом, мы нашли четыре граничных условия:

Легко, однако, видеть, что выполнение последних двух условий для тангенциальных компонент автоматически влечет за собой выполнение и первых двух условий для нормальных компонент.

Чтобы убедиться в этом, воспользуемся введенной выше местной системой координат (см. рис. 51), где нормаль к границе раздела сред, а оси и лежат в касательной плоскости к ней. Из уравнений Максвелла следуют уравнения

В силу непрерывности тангенциальных компонент правые части этих уравнений также меняются непрерывно при пересечении границы, откуда и следуют условия (62).

Так как электропроводность многих сред очень велика, весьма полезным является представление о проводнике с бесконечно большой электропроводностью. Такой проводник называют идеальным.

Опираясь на уравнения Максвелла, легко показать, что полное электромагнитное поле в проводнике затухает по мере углубления в проводник по показательному закону, причем показатель затухания пропорционален электропроводности (см., например, задачу к этому параграфу). Поэтому при пересечении границы идеального проводника поле должно обращаться в нуль. Это часто выражают, говоря, что «электромагнитное поле внутрь идеального проводника не проникает».

Этим обстоятельством воспользуемся, чтобы установить условия на границе идеального проводника. Обратимся к интегральному соотношению (58). Оценки членов этого соотношения, на основании которых мы пришли к граничному условию для тангенциальных компонент магнитного вектора, опирались на требование ограниченности векторов поля и плотности тока. Для идеального проводника последнее не имеет места и оценки для членов, зависящих от плотности тока, мы должны изменить.

Заметив, что по закону Ома компонента по оси полной плотности тока равна

найдем, что

Интеграл представляет полный ток, текущий через часть площадки расположенную в среде По сказанному выше, электромагнитное поле, а с ним и полный ток, текущий по

идеальному проводнику, концентрируются на его поверхности. Следовательно, при рассматриваемый интеграл стремится к линейному интегралу

где - часть контура площадки принадлежащая границе раздела сред (рис. 51), компонента поверхностной плотности тока по оси При а интеграл имеет порядок вследствие чего, как легко видеть, вместо соотношения (61) придем к соотношению

Приняв во внимание, что векторы поля в среде равны нулю, и учтя соотношения (60), окончательно получим

Это соотношение не накладывает никаких ограничений на решение, так как в правой его части стоит функция, не входящая в уравнения Максвелла. Наоборот, когда решение уравнений Максвелла найдено, соотношение (64) дает возможность определить поверхностный ток.

Вывод граничного условия для тангенциальных компонент электрического вектора имеет исходной точкой уравнения (57), не зависящие от плотности тока. Следовательно, как и для произвольной среды, для идеального проводника получим Но поскольку поле в идеальном проводнике равно нулю, то и это условие примет вид

Таким образом, на границе идеального проводника должно соблюдаться лишь одно условие, требующее обращения в нуль тангенциальной компоненты электрического вектора.

ЗАДАЧА

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление