Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Уравнения Лоренца — Максвелла

Уравнения электромагнитного поля или уравнения Лоренца — Максвелла не могут быть выведены из других законов природы. По существу, они являются выражением одного из фундаментальных законов природы. Обоснованием опирающейся на них электромагнитной теории является ее согласие с опытом в необычайно обширной области применений, простирающейся от атома до вселенной.

Важно подчеркнуть, что уравнения Лоренца-Максвелла описывают истинное, а не макроскопическое (усредненное) электромагнитное поле, тогда как уравнения, до сих пор встречавшиеся в этой книге, в их приложениях к физическим явлениям давали макроскопическое описание. Ниже будет совершен переход

к уравнениям — они получили название уравнений Максвелла, — дающих макроскопическое описание электромагнитного поля.

Уравнения Лоренца—Максвелла:

связывают электрическое поле и магнитное поле между собой, а также с плотностью электрического заряда и вектором плотности электрического тока Символ означает дифференцирование по времени в данной точке пространства. Величина с — постоянная, численно равная скорости света в вакууме; она получила название электродинамической постоянной. Векторные линии электрического и магнитного полей называют силовыми линиями, соответственно электрическими и магнитными.

Уравнение (3) утверждает, что источниками электрического поля являются электрические заряды. Оно может быть выведено из закона Кулона. Уравнение (4) гласит, что магнитное поле не имеет источников. В соответствии со сказанным в предыдущем параграфе это значит, что число магнитных силовых линий, входящих в любой объем, равно числу линий, выходящих из него. Поэтому магнитные силовые линии не могут ни начинаться ни кончаться ни в одной точке поля и либо замкнуты, либо имеют бесконечную длину. Уравнение (1) представляет закон электромагнитной индукции Фарадея. Уравнение (2) обобщает закон

Био и Савара, отличаясь от него наличием члена Именно добавление к перечисленным выше электрическим законам этого члена, произведенное Максвеллом, оказывается кардинально важным для того, чтобы система давала полное описание электромагнитного поля.

Из уравнений (1) и (2) следует, что причинами возникновения и изменения электромагнитного поля является не только существование электрических зарядов — источников электрического поля, но и движение зарядов, а также изменение во времени самого поля. Это делает возможным существование магнитного поля,

хотя оно не имеет источников, а также существование свободного (без зарядов и токов) электромагнитного поля.

Продифференцировав по времени уравнение (3) и подставив значение из (2), получим

Это уравнение представляет закон сохранения электрического заряда. В самом деле, проинтегрировав (5) по произвольному объему V и применив формулу Остроградского-Гаусса, найдем, что

т. е. приращение количества электричества (заряда) в объеме за единицу времени равно направленному внутрь электрическому току (напомним, что вектор, направленный из объема наружу). Наоборот, уравнение (3) следует из уравнений (5) и (2) с точностью до константы интегрирования. В этом легко убедиться, проведя выкладку, обратную проведенной выше.

Взяв дивергенцию от обеих частей уравнения (1), найдем, что откуда Сравнение этого результата с (4) показывает, что уравнение (4) определяет лишь константу интегрирования. Если, в частности, ищется электромагнитное поле по его значениям в начальный момент времени, то уравнение (4) должно быть принято во внимание лишь при формулировке начальных условий. Действительно, ввиду тождества уравнение (4) удовлетворяется и во все моменты времени, если оно удовлетворяется в начальный момент. Заметим, что это уравнение так же связано с законом сохранения магнитного заряда, который мог бы быть записан в форме, аналогичной (5), как уравнение (3) — с законом сохранения электрического заряда. То, что правая часть уравнения (4) равна нулю, по существу, выражает самостоятельный закон природы, который гласит, что магнитный заряд не только сохраняется, но и равен нулю.

Предположим теперь, что для системы (1)-(4) поставлена задача, содержащая начальные условия, т. е. электромагнитное

поле ищется по его значениям в начальный момент времени (при, возможно, других ограничительных условиях на границе, в бесконечно удаленной точке и т. п.). Если заменить уравнения (3) и (4) уравнением (5) и условием равенства нулю магнитных зарядов, то, как только что было показано, из этого будут следовать уравнения (3) и (4) с точностью до констант интегрирования, равенство которых нулю достаточно принять во внимание только в начальных условиях. Например, если в начальный момент времени, то ввиду это равенство будет иметь место и в дальнейшем.

Таким образом, полная система уравнений электромагнитного поля, по существу, сводится лишь к уравнениям (1)-(2), поскольку уравнения (3)-(4) следуют из законов сохранения других форм вещества — зарядов, которые отнюдь не могут быть сведены к полям Законы сохранения зарядов (в частности, равенство нулю магнитного заряда), ограничивая возможности возникновения поля, накладывают ограничения лишь на возможные формы распределения поля в пространстве. Эти ограничения, естественно, имеющие место во все моменты времени, и должны быть учтены в начальных условиях, чем выражается требование, чтобы рассматриваемое поле принадлежало к числу полей, которые реально могли возникнуть в природе.

Система (1)-(2) представляет систему из шести уравнений для девяти компонент векторов Недостающие три уравнения суть уравнения движения электрических зарядов, определяющие, совместно с законами сохранения, поле плотности электрического тока. Если поле задано в функции времени, то число неизвестных равно числу уравнений электромагнитного поля (1)-(2).

Задачи для системы уравнений (1)-(2) с заданными токами, которые в этом случае называют сторонними, возникают в огромном числе проблем; например, при изучении поля, создаваемого токами в антеннах радиопередатчиков и радиолокаторов, при расчетах полей, создаваемых движениями вещества в туманностях и атмосферах звезд, и т. д.

Когда система токов не задана, ситуация значительно более сложна. Ее рассмотрению посвящен следующий параграф.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление