Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Распространение тепла в прямоугольной пластинке

Рассмотрим тонкую однородную прямоугольную пластинку, контур которой поддерживается при температуре 0° С. Начальное распределение температуры задано, и задача заключается в определении температуры пластинки в любой момент времени в предположении, что тепловой обмен между боковой поверхностью пластинки с окружающей средой отсутствует.

Очевидно, эта задача приводится к решению уравнения

при граничных условиях

и при начальном условии

Согласно методу Фурье, будем искать частные решения уравнения (145) в виде произведения

тогда для определения функций и получим следующие уравнения:

где и постоянные.

Общие решения этих уравнений имеют вид:

Для выполнения граничных условий (146) следует положить

Таким образом, частными решениями уравнения (145), удовлетворяющими граничным условиям (146), будут

Составим ряд

Требуя выполнения начального условия (147), получим

Написанный ряд представляет собой разложение функции в двойной ряд Фурье, и коэффициенты определяются, как нетрудно видеть, по формуле

Внося эти значения коэффициентов в ряд (148), получим решение задачи (145) -(147).

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление