Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Распространение тепла в бесконечном цилиндре

В этом параграфе мы займемся задачей о распространении тепла в бесконечном цилиндре, причем рассмотрим несколько случаев.

1. Рассмотрим сначала радиальное распространение тепла в бесконечном круговом цилиндре радиуса боковая поверхность которого поддерживается при постоянной температуре, равной нулю.

Поставленная таким образом задача приводится к интегрированию уравнения

при граничном условии

и при начальном условии

где — заданная функция от

Разыскивая, согласно методу Фурье, частные решения уравнения (65) в виде

мы получим два уравнения

где произвольный параметр.

Общее решение уравнения (70) имеет вид (см. гл. XIII, § 1)

Так как при то из условия конечности температуры на оси цилиндра следует, что Что же касается параметра X, то он находится из граничного условия (66), и очевидно, что этот параметр может принимать бесчисленное множество значений, определяемых по формуле

где — положительные корни уравнения

Каждому собственному значению будет соответствовать собственная функция

Принимая теперь во внимание уравнение (69) и (68), мы найдем, что функции

удовлетворяют уравнению (65) и граничному условию (66) при любых

Составим ряд

и, чтобы удовлетворить начальному условию (67), потребуем выполнения равенства

Написанный ряд представляет разложение заданной функции по функциям Бесселя в интервале Коэффициенты разложения (76) (см. гл. XIII, § 4) определяются по формуле

Подставляя выражение (77) для в ряд (75), получим решение задачи (65)-(67) в виде

2. Рассмотрим теперь тот случай, когда на поверхности цилиндра происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой принимается равной нулю. Очевидно, что задача приводится к интегрированию уравнения (65) при начальном условии (67) и при граничном условии

Повторив рассуждения п. 1, получим снова уравнения (69) и (70) и найдем:

Удовлетворяя граничному условию (79), найдем

где положено

В гл. XIII, § 3, было показано, что уравнение (80) имеет все корни вещественными.

Решение задачи ищем в виде ряда

положительные корни уравнения (80) и каждый член ряда удовлетворяет граничному условию (79).

Удовлетворяя начальному условию (67), получим

Но это есть не что иное, как частный случай разложения (44) гл. XIII, когда следовательно, коэффициенты определяются по формуле (45) той же главы, т. е.

Подставляя это значение коэффициента в ряд (82), получим решение задачи в виде

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление