Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Неоднородное уравнение теплопроводности

1. Рассмотрим неоднородное уравнение

с начальным условием

и граничными условиями

При этом предполагается, что непрерывная функция имеет кусочно-непрерывную производную первого порядка по х и что при всех выполняются условия Будем искать решение задачи (45) -(47) в виде

так что граничные условия (47) удовлетворяются сами собой. Предположим, что функция рассматриваемая как функция от х, может быть разложена в ряд Фурье:

где

Подставляя ряд (48) в уравнение (45) и принимая во внимание (49), получим

откуда, заменяя величинои со",

Пользуясь начальным условием для

получаем начальное условие для

Решая обыкновенное дифференциальное уравнение (51) с нулевым

начальным условием (52), находим

Подставив это выражение в ряд (48), получим решение задачи в виде

Воспользуемся выражением (50) для и преобразуем найденное решение (53)

где

Функция называется функцией мгновенного точечного источника тепла. Функция рассматриваемая как функция от х, представляет распределение температуры в стержне в момент времени вызванное действием мгновенного источника тепла напряжения помещенного в момент в точке промежутка ( тогда как на концах стержня все время поддерживается нулевая температура.

Если начальное условие неоднородно, то к решению (54) нужно прибавить решение однородного уравнения теплопроводности с заданным начальным условием и граничными условиями (47), полученное в § 1 этой главы.

2. Рассмотрим теперь тот случай, когда начальное и граничные условия неоднородные, т. е. требуется найти решение уравнения

при начальном условии

и при граничных условиях

Эта задача легко сводится к задачам, рассмотренным в этого параграфа. Действительно, положим

где функция удовлетворяет однородному уравнению

граничным условиям

и начальному условию

а функция удовлетворяет неоднородному уравнению

граничным условиям

и начальному условию

Очевидно, что сумма (58) является решением задачи

Заметим, что задача также легко сводится к задаче, рассмотренной в п. 1, если ввести новую неизвестную функцию положив

где

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление