Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава XXVII. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В БЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ

§ 1. Распространение тепла в неограниченном стержне

Задача о распространении тепла в неограниченном однородном стержне, боковая поверхность которого теплоизолирована, математически формулируется следующим образом.

Найти ограниченную функцию удовлетворяющую уравнению теплопроводности

и начальному условию

где непрерывная ограниченная функция.

Найдем сначала частные решения уравнения (1) вида

Подставляя (3) в (1), имеем

или

где постоянная. Мы получаем, таким образом,

откуда, отбрасывая постоянный множитель в выражении

Постоянные могут зависеть от k. Так как граничные условия отсутствуют, то параметр к остается совершенно произвольным.

Согласно (3) получим, что

есть частное решение уравнения (1) при любых и Интегрируя (4) по параметру к, также получим решение уравнения (1):

если этот интеграл сходится и его можно дифференцировать один раз по и два раза по х под знаком интеграла.

Выберем и так, чтобы выполнялось и начальное условие (2). Полагая в получим, в силу (2),

Сравнивая интеграл в правой части с интегралом Фурье для. функции

мы видим, что можно удовлетворить равенству (6), положив

Подставляя (7) в (5), получаем:

или, изменяя порядок интегрирования,

Внутренний интеграл можно вычислить. Действительно, положим

откуда

Поэтому

Дифференцируя интеграл по параметру найдем, что

причем это дифференцирование законно в силу равномерной димости получецного интеграла. Интегрируя теперь по частям

получаем

отсюда

Чтобы найти постоянную С, полагаем здесь Это дает

Поэтому

и, в силу (9),

Подставив это соотношение в (8), окончательно найдем:

Нетрудно видеть, что функция

рассматриваемая как функция от является решением уравнения (1). Функцию (11) называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности

Докажем, что для любой непрерывной и ограниченной функции функция (10) удовлетворяет уравнению теплопроводности (1). Для этого нам достаточно показать, что интеграл (10), а также интегралы, полученные его формальным дифференцированием под знаком интеграла по сколько угодно раз, равномерно сходятся в любом прямоугольнике где Действительно, дифференцируя (10) несколько раз по мы получим сумму интегралов. Покажем, что каждый интеграл равномерно сходится. После дифференцирования под знаком интеграла выделяется множитель в положительной степени, который остается под знаком интеграла, и множитель в некоторой степени, который можно вынести из-под знака интеграла. Таким образом, мы получим сумму интегралов

Произведя замену переменных

преобразуем интеграл (12) к виду

Легко видеть, что этот интеграл равномерно сходится при так как подынтегральная функция мажорируется функцией

которая интегрируема в промежутке

Таким образом, функция определяемая формулой (10), непрерывна и имеет производные любого порядка по при Так как подынтегральная функция удовлетворяет уравнению (1) при то отсюда следует, что и функция удовлетворяет этому уравнению при

Докажем теперь, что функция (10) удовлетворяет начальному условию (2), т. е. что

при любом х из Введем вместо новую переменную а по формуле

Тогда формула (10) примет следующий вид:

Отсюда вытекает ограниченность решения и при если для всех х. Действительно,

ибо, как известно,

Умножим (14) на и вычтем из (13), тогда получим:

откуда

В силу ограниченности функции при любых мы имеем

Пусть — сколь угодно малое положительное число. Можно найти столь большое положительное число что, в силу сходимости интеграла (13), будем иметь

При этом из (14) будет следовать, что

В силу непрерывности можем утверждать, что при всех достаточно близких к нулю, и при

и последнее неравенство дает

и тем более

т. е., в силу (13), мы имеем

при всех достаточно близких к нулю. Отсюда ввиду произвольности следует, что

Таким образом, мы доказали, что функция

ограничена, удовлетворяет уравнению теплопроводности (1) и начальному условию (2).

Единственность полученного решения для непрерывной ограниченной функции следует из теоремы, доказанной в гл. XXVI, § 2.

Из формулы (10) следует, что тепло распространяется вдоль стержня не с какой-либо конечной скоростью, а мгновенно. Действительно, пусть начальная температура положительна для и равна нулю вне этого отрезка. Тогда для последующего распределения температур получаем

откуда видно, что при сколь угодно малых и сколь угодно больших х, и больше нуля. Это объясняется неточностью физических предпосылок, лежащих в основе теории теплопроводности.

Отметим еще одно важное обстоятельство. Решение задачи (задачи Коши) есть функция, непрерывно дифференцируемая сколь угодно раз по вне зависимости от того, будет ли иметь производные функция или нет. Эта гладкость решений существенно отличает однородное уравнение теплопроводности, например, от уравнения колебания струны.

Выясним теперь физический смысл фундаментального решения (11) однородного уравнения теплопроводности (1).

Выделим малый элемент стержня около точки и будем считать, что функция дающая начальное распределение температуры, равна нулю вне промежутка и имеет постоянное значение внутри него. Физически можно представить себе дело так, что мы в начальный момент времени сообщили этому элементу количество тепла которое вызвало повышение температуры на в этом участке стержня. В последующие моменты времени распределение температуры в стержне дается формулой (10), которая в нашем случае принимает вид:

Если мы будем теперь уменьшать до нуля, т. е. будем считать, что то же количество тепла распределяется на все меньшем участке и в пределе сообщается стержню в точке то мы приходим к понятию мгновенного точечного источника тепла напряжения помещенного в момент времени в точке От действия такого мгновенного точечного источника тепла в стержне получается распределение температур по формуле

Применив теорему о среднем, будем иметь

где

и так как при то выражение (16) принимает следующий вид:

Таким образом, фундаментальное решение (11) дает распределение температуры, которое вызывается мгновенным точечным источником тепла Напряжения помещенным в начальный момент в точке стержня.

Графики фундаментального решения 1

при фиксированном как функции от х, в отдельные моменты времени представлены на рис. 47. Площадь под каждой из этих кривых равна

Рис. 47

Это означает, что количество тепла в стержне остается неизменным с течением времени. Из чертежа видно, что почти вся площадь, ограниченная кривой (11) и осью абсцисс, находится над промежутком где сколь угодно малое число,

если только достаточно малое число. Величина этой площади, умноженная на равна количеству тепла, помещенному в начальный момент. Таким образом, для малых значений почти все тепло сосредоточено в малой окрестности точки сказанного выше следует, что в момент времени все количество тепла помещается в точке мы имеем мгновенный точечный источник тепла.

Теперь нетрудно дать физическое толкование и решению (10). Действительно, для того чтобы придать сечению стержня температуру в начальный момент, мы должны распределить на малом элементе около этой точки количество тепла или, что то же самое, поместить в точке мгновенный точечный источник тепла напряжения распределение температуры, вызываемое этим мгновенным точечным источником, согласно формуле (11), будет

Общее же действие от начальной температуры во всех точках стержня суммируется из этих отдельных элементов, что и дает нам полученное выше решение (10).

Мы рассмотрели распространение тепла в неограниченном стержне. Аналогично, в случае распространения тепла в неограниченном пространстве мы имеем уравнение теплопроводности

и начальное условие

и решением будет функция

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление