Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Рассеяние звука

Если звуковая волна встречает препятствие, она частично отражается от него, а частично проходит внутрь. В результате первоначальное направление распространения волны изменяется. Этот процесс называют рассеянием или дифракцией звуковых волн.

Рассмотрим стационарное звуковое поле, которое устанавливается в однородной среде, характеризуемой плотностью и скоростью звука а, при наличии в ней однородного же тела, характеризуемого плотностью и скоростью звука Как и выше, звуковое поле будем характеризовать давлением и круговой частотой со звуковых колебаний. Среду будем предполагать заполняющей все пространство за исключением объема V, занятого телом.

Поле которое существовало бы при отсутствии тела, назовем падающей волной, поле внутри тела — преломленной волной, а поле которое складываясь с падающей волной дает действительное звуковое поле в среде, — отраженной или рассеянной волной.

Ввиду однородности тела и среды, в их внутренних точках давление удовлетворяет однородным уравнениям Гельмгольца:

Так как а падающая волна также удовлетворяет уравнению Гельмгольца, то

На бесконечности рассеянная волна должна, очевидно, удовлетворять условию излучения:

Наконец, на границе тела давление и скорость колебаний в теле и среде должны совпадать, что, в силу формулы (4), приведет к следующим условиям сопряжения:

где означает дифференцирование по направлению внешней нормали к границе области

Собрав воедино найденные соотношения и предполагая, что падающая волна задана, придем к следующей задаче:

представляющей одну из простейших задач математической теории диффракции.

Мы займемся этой задачей в предположении, что область V представляет шар, а падающая волна является плоской.

Введем сферические координаты с началом в центре шара V и полярной осью, направленной навстречу падающей волне. При этом падающая волна может быть представлена выражением

не зависящим от координаты Ввиду симметрии картины рассеяния относительно полярной оси, решение дифракционной задачи (63) также не будет зависеть от

Следовательно, разложение рассеянной волны в ряд вида (94) гл. XXIV по частным решениям уравнения Гельмгольца будет иметь вид:

где функция Ханкеля первого рода. Решение для преломленной волны будем искать в виде аналогичного ряда:

в котором вместо функций Ханкеля стоят функции Бесселя, обеспечивающие ограниченность членов ряда при Из выражения (56) гл. XXIV для частных решений уравнения Гельмгольца следует, что члены последнего ряда удовлетворяют уравнению Гельмгольца.

Для определения неизвестных коэффициентов воспользуемся известным из теории бесселевых функций разложением выражения для плоской волны по сферическим функциям:

Подставив указанные ряды в условия сопряжения и приравняв коэффициенты при для определения коэффициентов получим уравнения:

где — радиус граничной поверхности Найдя из этой системы уравнений коэффициенты и подставив их в ряды (65) системы, найдем решение рассматриваемой дифракционной задачи (66).

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление