Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Звуковое поле вибрирующего цилиндра

Предположим, что цилиндр радиуса совершает малые гармонические колебания (вибрации) с амплитудой в направлении, перпендикулярном его оси. Найдем возникающее при этом стационарное звуковое поле.

Как было показано в § 1, поле давления звуковой волны удовлетворяет уравнению Гельмгольца (6), так что математическая постановка рассматриваемой задачи заключается сейчас в установлении граничных условий. Введем цилиндрические координаты с осью направленной по оси цилиндра в тот момент, когда последний проходит положение равновесия. Плоскость отсчета углов совместим с плоскостью колебаний цилиндра. Если колебания цилиндра происходят со скоростью, не превосходящей скорости звука в среде, что мы будем предполагать, между средой и цилиндром не образуется пустот. Поэтому скорость движения среды в направлении, перпендикулярном к поверхности цилиндра, совпадает с радиальной скоростью движения этой последней:

Отсюда, приняв во внимание формулу (5), заключим, что граничное условие рассматриваемой задачи будет следующим:

Кроме того, на бесконечности должно выполняться условие излучения (62) гл. XXIV:

Для отыскания решения воспользуемся непосредственно результатами § 4 гл. XXIV, где мы нашли, что частные решения уравнения Гельмгольца могут быть представлены формулой (50):

Одно из них и будет решением нашей задачи.

В рассматриваемом случае зависимость от отсутствует, поэтому Далее, в силу граничного условия (8), зависимость от должна выражаться только с помощью множителя созф, что возможно лишь при Наконец, чтобы при удовлетворялось условие излучения, в качестве решения уравнения Бесселя следует выбрать функцию Ханкеля первого рода Таким образом, действительно, выбор решения из числа решений вида (50) гл. XXIV оказывается однозначным и мы получим

где постоянная, определяемая из граничного условия (8), которое даст

откуда

Если

где k — длина волны с круговой частотой т. е. длина звуковых волн намного больше периметра сечения цилиндра (проволока), то для вычисления А можно воспользоваться соотношениями (18) и (61) гл. XIII, в силу которых при и малых получим

где а — скорость звука в среде. Отсюда

и

Исследуем полученное решение на больших расстояниях от цилиндра, т. е. при

Воспользовавшись асимптотическим представлением (64) гл. XIII, получим

В силу (10):

Применив формулу (4) и заметив, что найдем составляющие вектора скорости среды на больших расстояниях от цилиндра — радиальную:

и тангенциальную:

Отбросив члены высшего порядка малости, получим

т. е. на больших расстояниях от цилиндра движение среды, в основном, радиальное, тангенциальные же составляющие скорости убывают на порядок быстрее (как чем радиальные.

Определим, наконец, интенсивность звукового поля — величину, представляющую наибольший практический интерес. В силу формул (7), (14) и (15) получим

или, для струны:

Таким образом, поток энергии в звуковом поле колеблющегося цилиндра убывает пропорционально первой степени расстояния.

Он весьма быстро падает с уменьшением поперечника цилиндра и частоты. В последнем обстоятельстве кроется одна из причин, по которым басовые струны музыкальных инструментов должны быть толстыми. В плоскости, перпендикулярной плоскости колебаний цилиндра, звуковое поле отсутствует (точнее оно обусловливается только быстро убывающей тангенциальной компонентой).

ЗАДАЧИ

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление