Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава XXV. ИЗЛУЧЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ЗВУКА

§ 1. Основные зависимости для звуковых полей

В этой главе рассмотрим ряд простых задач, относящихся к изучению звуковых волн, т. е. волн, представляющих малые колебания некоторой упругой среды. В связи с этим напомним

основные соотношения, относящиеся к звуковым волнам (гл. I, § 3), и преобразуем их к более удобному для наших целей виду.

Потенциал скоростей частиц невязкой среды, являющейся носителем звуковых колебаний, подчиняется волновому уравнению (35) гл. I, которое в случае стационарных звуковых колебаний, происходящих с круговой частотой может быть заменено уравнением Гельмгольца относительной амплитуды и колебаний потенциала:

где скорость звука.

В дальнейшем для амплитуд колебаний будем сохранять те же обозначения, которые принимаются и для самих величин, причем слово амплитуда будем опускать, говоря просто потенциал, скорость и т. д. вместо амплитуда потенциала, амплитуда скорости и т. д. Это представит большое удобство, позволяя избежать введения новых символов и упростить терминологию, а при осмотрительном отношении не может повести к недоразумениям. Переход от общих уравнений для колебаний к уравнениям для станционарных колебаний при этом также будет весьма простым. При введении зависимости от времени множителем он сводится к замене

Сохранение обозначений оправдано также тем, что в стационарном случае поле амплитуд дает полное решение всей задачи, определяя, в частности, и поля самих колебающихся величин.

По определению потенциала скоростей, проекция скорости движения среды на направление I

Скорость среды связана с давлением в среде соотношениями (12) гл. VIII, которые, в силу (2), могут быть записаны в виде

где плотность среды. Из соотношений (3) и (4) теперь следует, что

Так как звуковые колебания представляют малые колебания, без существенной погрешности в определении в последнем соотношении величину можно считать равной плотности невозмущенной среды и в этом предположении проинтегрировать

его по что даст

Отсюда, в силу (1), следует, что

т. е. давление (амплитуда колебаний давления), удовлетворяет уравнению Гельмгольца.

В теории звука вводят понятие интенсивности звука определяемой соотношением

Интенсивность звука равна потоку энергии, переносимой волной через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление