Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Собственные числа и собственные функции граничной задачи общего вида. Разложения по собственным функциям

В § 2 мы изучили граничную задачу:

в частном случае, когда область V представляла шар, а Мы видели, что соответствующая ей однородная задача

имела нетривиальные решения при вещественных положительных значениях параметра образующих бесконечную возрастающую последовательность чисел

При этом каждому значению соответствовало одно нетривиальное решение

В теории интегральных уравнений доказывается, что перечисленные результаты полностью переносятся на задачу, поставленную для произвольной ограниченной области V (а также на соответствующую задачу в произвольной плоской области с тем лишь отличием, что одному и тому же числу может соответствовать не одно, а несколько линейно-независимых нетривиальных решений задачи.

Числа определяются заданием области V (или ) и граничным условием задачи (29). Как и ранее, будем называть их собственными числами задачи (29), а решения собственными функциями этой задачи, соответствующими (или принадлежащими) собственным числам

Коэффициенты в граничном условии задачи (29) могут быть функциями точки границы. Мы будем предполагать, что граница может быть разбита на конечное число кусочно-гладких частей, на каждой из которых коэффициенты сохраняют постоянные значения, неотрицательны и не равны нулю

одновременно, причем коэффициент а либо тождественно равен нулю, либо не обращается в нуль. В последнем случае на него можно разделить граничное условие задачи (29). Вследствие этого без ограничения общности можно считать, что коэффициент а равен либо либо 1. Соответственно этим значениям а можно считать, что на каждой из указанных кусочно-гладких частей границы коэффициент равен либо 1, либо может быть отличен от 1.

Если одному собственному числу соответствует несколько линейно-независимых собственных функций, например, две функции то эти функции всегда можно выбрать так, чтобы они были нормированы и ортогональны в области У, т. е. чтобы соблюдались соотношения

В самом деле, пусть собственные функции, которые не обладают этим свойством. Положим

где постоянные. Функции очевидно, также являются собственными функциями, причем при они линейно-независимы, так как линейно-независимы функции Определим теперь постоянные так, чтобы удовлетворялось первое из соотношений (32). Для определения искомых постоянных получим уравнение

где

Отсюда заключим, что число а можно выбрать произвольно, а число

где Вследствие этого можем записать:

Постоянные всегда теперь можно выбрать так, чтобы выполнялись два последних соотношения (32), что завершает доказательство.

Если имеется третья собственная функция линейно-независимая с то этот процесс ортогонализации можно продолжить, положив и выбрав постоянные так, чтобы выполнялись условия ортогональности и нормировки, и т. д.

Число линейно-независимых собственных функций, соответствующих собственному числу будем называть кратностью

этого последнего и при нумерации собственных чисел считать каждое из них столько раз, какова его кратность. Например, при кратности числа равной двум, в ряде собственных чисел будем писать не При этом у нас сохранится соответствие нумерации собственных функций и собственных чисел.

Покажем теперь, что собственные функции, соответствующие различным собственным числам, взаимно ортогональны. Воспользуемся с этой целью формулой Грина (7) гл. XVIII. Предположив, что и заметив, что имеет место тождество

преобразуем формулу Грина к виду:

Положив в ней и подставив значения величин из задачи (29), получим

Так как, по предположению, то

что и утверждалось. Если то доказательство аналогично, причем формулой Грина следует воспользоваться в непреобразованной форме.

Так как все собственные функции определены с точностью до постоянного множителя, то их всегда можно нормировать, разделив на Следовательно, осуществив ортогонализацию линейно-независимых собственных функций, соответствующих кратным собственным числам, можем записать общее соотношение:

которое в этой главе всюду будем считать выполненным.

Система собственных функций является полной. Весьма общие результаты о полноте системы собственных функций задачи (29) принадлежат В. А. Ильину. Приведем некоторые из них.

Пусть произвольная непрерывная функция, заданная в области V, причем интегралы

имеют смысл при некотором значении числа Тогда:

1) если то функция может быть разложена в ряд

по собственным функциям задачи (29), сходящийся равномерно при суммировании в порядке возрастания собственных чисел во всех точках при этом коэффициенты ряда могут быть вычислены по формулам

2) если , то те же результаты справедливы при дополнительном условии

Если на функцию наложить более сильные ограничения чем выше, предположив, что она непрерывна в области V вместе со своими первыми производными, а интегралы

имеют смысл, то ряд (36) сходится абсолютно а равномерно.

Аналогичная теорема разложения справедлива и для задач, поставленных в плоских областях (при этом в формуле (35) следует положить

Сформулированные теоремы разложения могут быть непосредственно применены для решения неоднородной граничной задачи:

Разложим функцию и в ряд

по собственным функциям задачи (39). Подставив этот ряд в уравнение задачи (39) и выполнив формально почленное дифференцирование, получим

Сравнив ряд в правой части с разложением (36) функции найдем, что условия задачи (39) будут выполнены, если положить

Последнее выражение показывает, что рассматриваемый метод решения задачи может быть применен, если параметр не равен ни одному из собственных чисел задачи (39). Если параметр сближать с каким-либо из собственных значений то, при условии, что 0, соответствующий коэффициент будет неограниченно расти.

Физическое истолкование этого состоит в том, что при в области V возникают собственные колебания, которые с течением времени благодаря действию возмущения попадающего в резонанс с ними, неограниченно растут. Вследствие этого установившегося режима колебаний не наступает, на что и указывает невозможность решения задачи (39). Практически, колебания при резонансе всегда оказываются ограниченными либо из-за фактического наличия затухания либо из-за нелинейных явлений, которые не принимались во внимание при математической формулировке задачи.

При с помощью рассматриваемого метода нетрудно найти нерезонансную часть колебаний. Например, предположим, что функция удовлетворяет условию

вследствие чего свободные колебания не возбуждаются. При этом допущении можно положить а остальные коэффициенты вычислить по формуле (41). К найденному таким путем решению можно добавить любую из собственных функций задачи, соответствующих собственному числу причем снова получим решение. Таким образом, мы имеем здесь дело со второй частью общей альтернативы, сформулированной в конце § 2.

Для решения общей граничной задачи (29) также можно использовать метод разложения по собственным функциям. Для этого надо найти функцию непрерывную вместе со своими производными первых двух порядков и удовлетворяющую граничному условию рассматриваемой задачи. Положив для определения функции придем к задаче

аналогичной задаче (39).

Метод решения граничных задач с помощью разложений по собственным функциям однородных задач не всегда ведет к цели, ввиду трудности разыскания собственных функций. Однако, когда возможно разделение переменных, собственные функции часто могут быть выражены через хорошо известные функции. Примеры этого мы приведем в следующем параграфе.

Мы не касались вопроса о допустимости почленного дифференцирования ряда (40). Отметим лишь, что ряд (40), коэффициенты которого вычислены по формулам (41), сходится к решению задачи (39) при весьма общих условиях, при этом не обязательно, чтобы он был почленно дифференцируем.

ЗАДАЧА

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление