Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Кольцевые волны

Возмущение в какой-либо точке поверхности жидкости вызывает появление кольцевых волн с центром в точке возмущения.

Для изучения этих волн введем цилиндрические координаты с началом в месте возмущения и осью направленной вертикально вниз. Уравнение Лапласа (2) для потенциала скоростей в силу формулы (3) гл. XIX, примет при этом вид

Рассмотрим сначала колебания чисто периодические по времени, в связи с чем, согласно § 1, примем

где — круговая частота колебаний, комплексная функция координат, как и удовлетворяющая уравнению вида (38). Считая, что интересующие нас волны имеют кольцевую симметрию, придем к уравнению

Полагая далее бассейн неограниченным, сохраним граничные условия только для свободной поверхности (13):

и для дна бассейна (12):

Как и в предыдущем параграфе, решение уравнения (40) будем искать по методу разделения переменных. Положив и после очевидных выкладок придем к уравнениям:

где — произвольное число.

Оба граничных условия относятся к уравнению (44). Как само уравнение (44), так и эти граничные условия те же, что и в § 2. Поэтому на основании формулы (21) сразу можем записать, что с точностью до множителя,

причем, в силу (22), вещественное число, связанное с круговой частотой колебаний (о уравнением

Что же до уравнения (43), то это уравнение Бесселя нулевого порядка (гл. XIII). Его решением, ограниченным и непрерывным при всех включая является функция Бесселя нулевого порядка Таким образом, принимая во внимание соотношения (39) и (45), придем к заключению, что все непрерывные решения уравнения (40) при граничных условиях (41) — (42) имеют вид

где — величина, не зависящая ни от ни от Отсюда, на основании равенства (39),

В силу формулы (7), высота свободной поверхности над ее невозмущенным уровнем определится соотношением

Воспользовавшись графиком функции легко видеть, что расстояние между двумя соседними вершинами рассматриваемых

периодических кольцевых волн (аналог длины волны в двумерном случае) увеличивается по мере удаления от точки а высота волн убывает.

Рассмотрим теперь случай произвольного осесимметричного начального возмущения.

Предположим, что при

где заданная непрерывная функция и поставим задачей найти движение жидкости при Воспользуемся с этой целью интегралом Фурье — Бесселя:

заменив в нем функцию функцией Введя функцию

можем записать

Это соотношение дает представление начального возмущения в форме суперпозиции кольцевых волн разных частот. Отсюда ясно, что функция

дает решение нашей задачи. Действительно, эта функция представляет суперпозицию функций (47), удовлетворяющих уравнению задачи и граничным условиям. Следовательно, она также обладает этими свойствами. В силу же (7) из нее вытекает, что

откуда при получаем соотношение (51). Таким образом, функция представляет потенциал скорости жидкости при заданных граничных и начальном условиях и поэтому определяет искомое движение жидкости. Формула (53) определяет форму поверхности жидкости при

ЗАДАЧИ

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление