Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Двумерные волны в бассейне ограниченной глубины

Волны, не зависящие от одной из координат, называют двумерными. Направим ось х перпендикулярно гребням волн. Тогда картина волнения не будет зависеть от координаты у и уравнение (11) примет вид

Рассмотрим картину двумерного волнения в бассейне постоянной глубины Размер бассейна вдоль оси х будем считать неограниченным, а вдоль оси у либо имеющим определенное постоянное значение (канал с вертикальными стенками), либо

неограниченным. В соответствии с этим из граничных условий (12) — (13) сохраним условие на свободной поверхности:

и условие на дне бассейна:

Условие на стенках канала будет выполнено автоматически, так как функция и не зависит от у.

Решение уравнения (15) будем искать по методу разделения переменных. Полагая придем к двум уравнениям:

где произвольное число. Их общие интегралы:

где произвольные постоянные.

Числа а также необходимо выбрать так, чтобы удовлетворялись как граничные условия, так и требование малости волнения (§ 1).

Начнем с рассмотрения выражения (18), определяющего зависимость волнения от координаты х. Если число комплексно или отрицательно, то из выражения (18) следует, что в одном из направлений оси х волнение не только не может быть малым, но неограниченно возрастает. Поэтому число следует выбрать вещественным и положительным. Через обозначим положительный корень из

Заметим попутно, что при вещественном из (18) непосредственно вытекает соотношение

где X — длина волны. Число называют волновым числом.

Подставив произведение в граничное условие (17), получим

откуда следует, что с точностью до множителя

так что

Используя граничное условие (16), получим

или

т. е. волновое число и круговая частота колебаний функционально связаны. Заметив, что правая часть уравнения (22) монотонно и неограниченно возрастает с ростом заключим, что каждому значению со соответствует одно и только одно значение удовлетворяющее этому уравнению, причем с ростом со возрастает и

Вернемся теперь снова к выражению (18) для функции Поскольку все условия задачи удовлетворены выбором постоянных и и ограничениями, наложенными на значения то постоянные ограничиваются только требованием малости амплитуд волнения, в остальном же они произвольны. Это является естественным, так как мы не задавали никаких количественных характеристик начального возмущения, вызвавшего волнение. Поэтому искомое решение неоднозначно и определит лишь класс возможных движений жидкости, удовлетворяющих поставленным условиям. Умножая (18) на получим

откуда ясно, что первый член в правой части (18) соответствует волне, бегущей с фазовой скоростью

в направлении оси х, а второй член соответствует волне, бегущей с той же фазовой скоростью в противоположном направлении. Подставляя из (22), найдем, что

т. е. фазовая скорость волн зависит от их длины. Это означает, что если наложением волн разной длины образована сложная волна, то в общем случае с течением времени ее форма будет изменяться, так как отдельные слагающие ее волны будут распространяться с разной скоростью (дисперсия волн). Наоборот, как следует из (23), волны, образованные наложением волн одной длины, сохраняют свою форму с течением времени. Заметим, что эти последние волны всегда неограниченны в пространстве (периодичны).

Если

т. е. если длина волны намного больше глубины бассейна-, то в силу (25), получим

Это означает, что очень длинные волны распространяются без дисперсии.

Чтобы извлечь из нашего решения дальнейшие следствия, выпишем выражение для потенциала скорости применительно к волне, бегущей в положительном направлении оси х. В силу (10), имеем

Суперпозиция решений (27) с разными значениями со и соответствующими им значениями очевидно, также удовлетворяет условиям задачи. Поэтому, считая и со функциями и интегрируя решение (27) по придем к более общему решению

Функция здесь ограничивается только требованием, чтобы интеграл в правой части имел смысл. (С точки зрения физики рассматриваемые значения числа должны быть ограничены сверху, так как при очень высоких частотах вязкостью и другими не учитываемыми уравнениями Эйлера характеристиками нельзя пренебрегать, и наше решение теряет физический смысл. Иначе говоря, следует считать, что, начиная с некоторых, достаточно больших значений функция становится равной нулю.)

Решение (28) представляет суперпозицию волн с бесконечно малыми амплитудами Если некоторой частоте или набору частот соответствуют волны с конечной (хотя, согласно принятому условию, малой) амплитудой, то к (28) следует добавить конечную сумму по соответствующим значениям

что и даст наиболее общую форму решения рассматриваемой нами задачи. Интересующие нас выводы мы, однако, сумеем извлечь уже из решения (28).

Дифференцируя выражение под знаком интеграла (28) по и полагая в силу (7), придем к следующему выражению для координаты свободной поверхности:

Вводя новую функцию от

перепишем это соотношение в виде

Предположим, что в некоторый момент времени, который мы примем за начало отсчета, форма поверхности жидкости описывалась функцией

Найдем, как изменяется форма поверхности в дальнейшем. В силу (30):

Функцию как мы сейчас покажем, можно выбрать так, чтобы интеграл в правой части этого соотношения был вещественным, т. е. чтобы было

Чтобы определить указанным образом, воспользуемся интегральной формулой Фурье

справедливой, если в интервале, содержащем внутри точку х, функция имеет ограниченное изменение и непрерывна, а в интервале абсолютно интегрируема. Будем считать эти условия для функции выполненными и всех х и положим в (32): Тогда из сравнения соотношений (31) и (32) вытекает, что соотношение (31) будет выполнено, если положить

где

Подставляя это значение в (30), получим

Эта формула позволяет определить изменение формы поверхности жидкости с течением времени.

Рассмотрим частный случай, когда первоначальное возмущение образовано весьма длинными волнами Тогда, согласно (26),

и соотношение (35) примет вид

Замечая, что выражение не зависит от и играет здесь ту же роль, что и х в соотношении (32), получим

т. е. первоначальное возмущение распространяется без искажения, как уже и упоминалось.

К другому важному частному случаю придем, предположив, что

где вещественная функция, которую мы будем считать обладающей следующими свойствами:

а) она мало меняется на протяжении длины волны

б) она отлична от нуля лишь в конечном интервале изменения х. Такого рода возмущение называют группой или цугом волн длины

Как следует из теории интеграла Фурье, в силу свойства а), функция определяемая формулой (34), близка к нулю при всех за исключением значений близких к значению Благодаря последнему обстоятельству в разложении

можно сохранить лишь два первых члена, не внося существенной погрешности в вычисление интеграла (35). Обозначив

получим

в силу чего интеграл (35) приближенно может быть записан в виде

где

Принимая во внимание интегральную формулу Фурье (32), легко найдем, что

откуда вытекает, что

Таким образом, в первом приближении рассматриваемая группа волн как целое распространяется со скоростью

Эту скорость называют групповой скоростью. Отдельные же волны группы (гребни и впадины) бегут со скоростью-, представляющей фазовую скорость волн соответствующей длины волны. Эти волны не отстают от группы и не опережают ее, так как их высота у границ группы, характеризуемая множителем обращается в нуль. Так дело обстоит, конечно, только в том приближении, в котором мы рассматриваем здесь группу. Учет членов высшего порядка показал бы, что с течением времени группа, вообще говоря, меняет форму и неограниченно увеличивается по размерам из-за дисперсии волн.

Подчеркнем, что понятие групповой скорости в общем случае произвольного возмущения ввести нельзя. Оно применимо только в отношении групп волн, спектр которых, характеризуемый функцией простирается лишь на достаточно узкий интервал значений волнового числа

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление