Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава XXIII. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ

§ 1. Постановка проблемы

Рассмотрим волны на поверхности несжимаемой невязкой жидкости, заключенной в бассейне с твердыми стенками.

Верхнюю, не соприкасающуюся со стенками поверхность жидкости называют свободной. Ее состояние, при котором волны отсутствуют, называют невозмущенным. В этом состоянии свободную поверхность будем считать плоской.

С невозмущенной свободной поверхностью свяжем прямоугольную декартову систему координат, для которых в этой главе сохраним традиционные обозначения Ось направим вертикально вверх.

Состояние свободной поверхности, отклоняющееся от невозмущенного, называют волнением.

Будем считать, что движение жидкости первоначально было вызвано консервативной системой сил и рассматривать волнение в моменты времени, когда действие всех этих сил, за исключением силы тяжести, прекратилось. В этом случае волны на поверхности жидкости называют гравитационными. При действии на жидкость только консервативных сил, как известно из гидродинамики, ее движение оказывается безвихревым и поэтому существует потенциал скоростей т. е. компонента скорости жидкости по направлению может быть представлена в виде

где некоторая функция координат и времени, удовлетворяющая (по пространственным координатам уравнению Лапласа:

Наконец, волнение жидкости будем считать малым, понимая под этим, что все производные потенциала скоростей: а также смещение свободной поверхности при волнении достаточно малы, чтобы их квадратами и произведениями можно было пренебрегать, не внося существенной погрешности в решение. При перечисленных условиях задачу о волнении на свободной поверхности жидкости мы приведем к граничной задаче для уравнения Лапласа (2).

Установим, прежде всего, граничные условия, которым должен удовлетворять потенциал скоростей

На неподвижной границе жидкости (стенки и дно бассейна), в силу (1), должно выполняться условие

так как жидкость не может пересекать твердые стенки. На свободной поверхности должно удовлетворяться условие

где гидродинамическое давление в жидкости, а — атмосферное давление.

Чтобы преобразовать последнее условие к более удобному виду, воспользуемся уравнениями Эйлера (10а) гл. VIII, описывающими движение идеальной жидкости. Возьмем то из этих уравнений, в которое входят производные компоненты скорости Запишем здесь это уравнение в виде

где внешняя сила, действующая на единицу массы жидкости вдоль оси плотность жидкости. При действии на жидкость только силы тяжести

где ускорение силы тяжести. Далее, в силу (1), имеем

так что при наличии потенциала скоростей уравнение Эйлера (5) можно записать в форме:

допускающей непосредственное интегрирование по Произведя это последнее, получим

где С — произвольная функция времени. Так как добавление к потенциалу любой функции времени не вызывает нарушения соотношения (1), то функцию можно выбрать произвольно. Положим

Квадратами скоростей, по сказанному выше, мы можем пренебречь. Тогда, обозначив через координату свободной поверхности, получим

Пренебрегая членами высшего порядка малости это выражение можем записать в виде

С той же степенью приближения, принимая во внимание, что нормаль к свободной поверхности составляет с осью малый угол, нормальную компоненту скорости жидкости на свободной поверхности можно положить равной

Дифференцируя (7) по времени и подставляя из (8), получим

Соотношение (9) и представляет граничное условие на свободной поверхности, записанное в удобной для дальнейшего форме. Соотношение же (7) позволяет определить форму свободной поверхности, если решение для известно.

Найдем сначала решение нашей задачи, представляющее в каждой точке занятого жидкостью пространства чисто периодическое колебание с одной и той же круговой частотой но, вообще говоря, с меняющейся от точки к точке амплитудой и фазой. Для этого положим:

где комплексная функция координат. Так как

где

то соотношение (10) действительно описывает гармоническое колебание с фазой и амплитудой, зависящими от координат.

Чтобы найти уравнение и граничные условия, которым должна удовлетворять функция и, подставим в соотношения (2), (3) и (9) вместо произведение Это даст в точках внутри жидкости

на стенках бассейна

на свободной поверхности

Таким образом, приходим к внутренней смешанной задаче для уравнения Лапласа. Эта задача однородная. Поэтому, если — решение, то и где -величина, не зависящая от координат, тоже решение.

Заметим, после того как функция и, удовлетворяющая уравнению (11) и граничным условиям (12) — (13) найдена, путем суперпозиции решений вида могут быть построены различные решения более общего вида. Например, интеграл

даст такое весьма общее решение. Величина А как функция со может быть выбрана произвольным образом, лишь бы интеграл (14) имел смысл.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление