Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Применение сферических функций для решения граничных задач

Рассмотрим приложение теории сферических функций к решению задач Дирихле и Неймана.

Пусть — шаровая поверхность, определяемая в сферической системе координат уравнением — функция, заданная на и разлагающаяся в ряд по сферическим функциям:

Как мы знаем (§ 1), функция а поэтому и отличающаяся от нее только постоянным множителем функция

гармонична в любой области, не содержащей точки Поэтому функция

гармонична вне шаровой поверхности . А так как в силу соотношения (31) на она совпадает с то она представляет решение внешней задачи Дирихле для области, лежащей вне шаровой поверхности , при граничном условии и

Пользуясь теоремой Кельвина (гл. XIX, § 3), найдем, что функция

гармонична внутри 2, а поэтому представляет решение соответствующей внутренней задачи Дирихле при том же граничном условии.

Рассмотрим теперь функцию

гармоническую в области вне 2. Направление нормали внутрь примем за положительное. При этом так что нормальная производная функции на 2 равна

Таким образом, ряд (34) дает решение внешней задачи Неймана для области вне при граничном условии

Согласно § 4 гл. XIX внутренняя задача Неймана имеет решение только в том случае, если граничное условие удовлетворяет соотношению

В силу ортогональности сферических функций разного порядка

где постоянная. Отсюда заключим, что для соблюдения требования (35) в разложении (31) должен отсутствовать член нулевого порядка, т. е. должно быть:

В этом случае ряд

где произвольная постоянная, разрешает внутреннюю задачу Неймана для шара при граничном условии Действительно, функция гармонична внутри , а ее нормальная производная на совпадает с (нормаль считаем направленной в область вне 2).

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление