Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Ортогональность сферических функций

Покажем, что построенные в предыдущем параграфе сферические функции ортогональны на поверхности 2 любого шара с центром в начале координат, т. е. интеграл от произведения двух различных функций (19) по поверхности равен нулю. Начнем со сферических функций разных порядков. Пусть две такие функции. Функции

гармоничны в любой ограниченной окрестности начала координат. Действительно, они регулярны в любой конечной области, а согласно формуле (5) (при ) удовлетворяют уравнению

Лапласа. Поэтому в силу формулы Грина (7) гл. XIX:

В данном случае дифференцирование по нормали к 2 совпадает с дифференцированием по Поэтому

а так как то

Переходя к сферическим функциям (19) одного порядка, заметим, что интеграл по поверхности 2 можно представить в виде повторного интеграла, содержащего интегрирование по в пределах от до Но в функции (19) одного порядка угол входит посредством множителей

образующих в промежутке ортогональную систему. Поэтому интеграл в пределах от до от произведения любой пары из них равен нулю. Следовательно, равен нулю и интеграл по .

Укажем без вывода интегралы от квадратов сферических функций:

где радиус шаровой поверхности .

Установим, наконец, интегральные формулы, содержащие произвольную сферическую функцию и полином Лежандра.

Пусть , как и выше, шаровая поверхность с центром в начале координат, точка внутри . Применив к гармонической функции

формулу (44) гл. XIX, получим

где - расстояние между точкой х и переменной точкой на . В рассматриваемом случае:

где у — переменный угол между радиусами-векторами точек х и Разложим функцию в равномерно сходящийся ряд:

и заметим, что на :

В силу этих соотношений:

Подставив это выражение в формулу Грина, получим:

Интегрируя почленно равномерно сходящийся ряд в правой части этого соотношения, придем к ряду

коэффициенты которого

не зависят ни от ни от поскольку отношение остается инвариантным при изменении Сравнив коэффициенты при одинаковых степенях отношений в ряде (21) и приняв во внимание формулу (22), придем к формулам:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление