Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава XXI. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

§ 1. Построение системы линейно-независимых сферических функций

В § 4 гл. XX, при изучении ньютоновского потенциала, мы ввели сферические функции, определив их как множитель в представлении потенциала порядка

где сферические координаты, и установили, что каждому значению соответствует не более линейно независимых сферических функций, через которые могут быть выражены остальные сферические функции порядка

В этой главе покажем, что сферические функции естественно возникают при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах

Подставив в уравнение (2) выражение

получим

Первое из слагаемых в левой части не зависит от и а второе от Поэтому уравнение может удовлетворяться при всех только тогда, когда каждое из слагаемых в левой части постоянно, т. е.

где постоянная. Отсюда получим два уравнения:

Общий интеграл уравнения (3) равен

где число удовлетворяет условию

При целом и получим решения уравнения Лапласа интересующего нас вида:

где какое-либо решение уравнения (4) при целом. При нашем новом подходе мы, очевидно, исчерпываем все функции входящие в решения уравнения Лапласа, имеющие вид (7). Следовательно, сферические функции являются

решениями уравнения

имеющими непрерывные производные до второго порядка включительно. Эти решения будем называть регулярными, а само уравнение (8) — уравнением сферических функций.

Решения уравнения (8) также будем искать по методу разделения переменных. Подстановкой

уравнение (8) приведется к системе уравнений:

где произвольное число.

Однозначные непрерывные на окружности решения уравнения (10) получаются при целых значениях Каждому такому значению соответствуют два линейно-независимых решения:

Займемся уравнением Подстановкой

приведем его к виду

В частности, при получим уравнение

согласно формуле (4) гл. XVI являющееся уравнением полиномов Лежандра Произведем в уравнении (13) подстановку

Функция у будет удовлетворять уравнению

Чтобы найти его частные решения, продифференцируем уравнение полиномов Лежандра раз по Применив формулу Лейбница, получим

Сравнив это уравнение с уравнением (15), видим, что функции

являются частными решениями уравнения (15). Отсюда ясно, что функции

будут частными решениями уравнения (13). Возвращаясь к переменной 6, получим искомые частные решения уравнения (11):

Так как полиномы Лежандра представляют полиномы степени от функции также представляют полиномы, причем

Функции получили название присоединенных полиномов Лежандра. Как всякие полиномы они непрерывны и дифференцируемы неограниченное число раз.

Таким образом, для каждого мы получили частных решений уравнения (11): соответствующих значениям Комбинируя эти решения с решениями (12) уравнения (10), получим сферических функций:

являющихся частными решениями уравнения (8). Эти сферических функций линейно-независимы, так как линейно-независимы множители Функции получили название зональных, а функции тессеральных сферических функций. О происхождении этих терминов см. задачу 4.

Как мы знаем, всего может быть линейно-независимых сферических функций порядка Поэтому любую сферическую функцию можно представить в виде линейной комбинации найденных линейно-независимых решений (19):

где постоянные.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление