Уравнения в частных производных математической физики
ОглавлениеВВЕДЕНИЕГлава I. ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 1. Уравнение колебаний струны § 2. Уравнение колебаний мембраны § 3. Уравнения гидродинамики и звуковых волн § 4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле § 5. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа Глава II. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА § 1. Типы уравнений второго порядна § 2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными Глава III. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА § 1. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными § 2. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными § 3. Нелинейные дифференциальные уравнения с n независимыми переменными ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА § 1. Уравнение колебаний струны. Решение Даламбера § 2. Понятие об обобщенных решениях Глава V. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ § 1. Дифференциальное уравнение продольных колебаний однородного стержня постоянного сечения. Начальные и граничные условия § 2. Колебания стержня с одним закрепленным концом § 3. Продольный удар груза по стержню Глава VI. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ § 2. Задача Гурса § 3. Метод Римана § 4. Примеры на приложение метода Римана Глава VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИК К ИЗУЧЕНИЮ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЛИНИЯХ § 1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний § 2. Телеграфное уравнение § 3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана § 4. Электрические колебания в бесконечном проводе § 5. Колебания в линии, свободной от искажения § 6. Граничные условия для провода конечной длины Глава VIII. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ § 2. Цилиндрические волны § 3. Непрерывная зависимость решения от начальных данных § 4. Теорема единственности § 5. Неоднородное волновое уравнение § 6. Точечный источник Глава IX. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА § 2. Бихарактеристики § 3. Слабый разрыв. Фронт волны § 4. Распространение разрывов по лучам Глава X. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ К ИЗУЧЕНИЮ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУН И СТЕРЖНЕЙ § 1. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны § 2. Колебания защепленной струны § 3. Колебания струны под действием удара § 4. Продольные колебания стержня § 5. Общая схема метода Фурье Глава XI. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН И СТЕРЖНЕЙ § 1. Вынужденные колебания струны, закрепленной на концах § 2. Вынужденные колебания тяжелого стержня § 3. Вынужденные колебания струны с подвижными концами § 4. Единственность решения смешанной задачи Глава XII. КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ § 1. Дифференциальное уравнение крутильных колебаний цилиндрического стержня § 2. Колебания стержня с одним прикрепленным диском Глава XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ § 1. Уравнение Бесселя § 2. Некоторые частные случаи функций Бесселя § 3. Ортогональность функций Бесселя и их корни § 4. Разложение произвольной функции в ряд по функциям Бесселя § 5. Некоторые интегральные представления функций Бесселя § 6. Функции Ханкеля § 7. Функции Бесселя мнимого аргумента Глава XIV. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ НИТИ, ПОДВЕШЕННОЙ ЗА ОДИН КОНЕЦ § 1. Свободные колебания подвешенной нити § 2. Вынужденные колебания подвешенной нити Глава XV. МАЛЫЕ РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАЗА § 1. Радиальные колебания газа в сфере § 2. Радиальные колебания газа в неограниченной цилиндрической трубке Глава XVI. ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА § 1. Дифференциальное уравнение Лежандра § 2. Ортогональность полиномов Лежандра и их норма § 3. Некоторые свойства полиномов Лежандра § 4. Интегральные представления полиномов Лежандра § 5. Производящая функция § 6. Рекуррентные соотношения между полиномами Лежандра и их производными § 7. Функция Лежандра второго рода § 8. Малые колебания вращающейся струны Глава XVII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ И КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ § 1. Свободные колебания прямоугольной мембраны § 2. Свободные колебания круглой мембраны § 3. Метод Фурье в многомерном случае ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Глава XVIII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА § 2. Формулы Остроградского — Гаусса и Грина § 3. Преобразование формулы Грина § 4. Функции Леви § 5. Формула Грина — Стокса § 6. Формула Грина — Стокса в случае двух измерений § 7. Представление некоторых дифференциальных выражений в ортогональных системах координат Глава XIX. УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА § 1. Уравнения Лапласа и Пуассона. Примеры задач, приводящих к уравнению Лапласа § 2. Граничные задачи § 3. Гармонические функции § 4. Единственность решений граничных задач § 5. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Основная формула теории гармонических функций § 6. Формула Пуассона. Решение задачи Дирихле для шара § 7. Функция Грина § 8. Гармонические функции на плоскости Глава XX. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА § 1. Ньютоновский потенциал § 2. Потенциалы разных порядков § 3. Мультиполи § 4. Разложение потенциала по мультиполям. Сферические функции § 5. Потенциалы простого и двойного слоя § 6. Поверхности Ляпунова § 7. Сходимость инепрерывная зависимость несобственных интегралов от параметров § 8. Поведение потенциала простого слоя и его нормальных производных при пересечении слоя § 9. Тангенциальные производные потенциала простого слоя и производные по любому направлению § 10. Поведение потенциала двойного слоя при пересечении слоя § 11. Уровенные распределения § 12. Энергия гравитационного поля. Задача Гаусса § 13. Поле тяжести. Теорема Стокса § 14. Логарифмический потенциал Глава XXI. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ § 1. Построение системы линейно-независимых сферических функций § 2. Ортогональность сферических функций § 3. Разложение по сферическим функциям § 4. Применение сферических функций для решения граничных задач § 5. Функция Грина задачи Дирихле для шара § 6. Функция Грина задачи Неймана для шара Глава XXII. ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 1. Электростатический потенциал проводящего шара, разделенного слоем диэлектрика на два полушария § 2. Задача о стационарном распределении температуры в шаре § 3. Задача о распределении электричества на индуктивно заряженном шаре § 4. Обтекание шара потоком несжимаемой жидкости Глава XXIII. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ § 2. Двумерные волны в бассейне ограниченной глубины § 3. Кольцевые волны § 4. Метод станционарной фазы Глава XXIV. УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА § 1. Связь уравнения Гельмгольца с некоторыми уравнениями гиперболического и параболического типов § 2. Сферически симметричные решения уравнения Гельмгольца в ограниченной области § 3. Собственные числа и собственные функции граничной задачи общего вида. Разложения по собственным функциям § 4. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах § 5. Сферически симметричные решения уравнения Гельмгольца в бесконечной области § 6. Интегральные формулы § 7. Разложения в ряды по частным решениям уравнения Гельмгольца в бесконечной области § 8. Вопросы единственности решений внешних граничных задач для уравнения Гельмгольца Глава XXV. ИЗЛУЧЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ЗВУКА § 1. Основные зависимости для звуковых полей § 2. Звуковое поле вибрирующего цилиндра § 3. Звуковое поле пульсирующего шара. Точечный источник § 4. Излучение из отверстия в плоском экране § 5. Звуковое поле при произвольном колебании поверхности шара § 6. Исследование поля шара при произвольном колебании его поверхности. Акустические или колебательные мультиполи § 7. Рассеяние звука ДОПОЛНЕНИЕ К ЧАСТИ ВТОРОЙ. СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ОБЩЕГО ВИДА § 1. Общий вид уравнения эллиптического типа § 2. Основные граничные задачи § 3. Сопряженные граничные задачи § 4. Фундаментальные решения. Функция Грина § 5. Теоремы единственности § 6. Условия разрешимости граничных задач ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА § 1. Первая граничная задача. Теорема о максимуме и минимуме § 2. Задача Коши Глава XXVII. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В БЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ § 1. Распространение тепла в неограниченном стержне § 2. Распространение тепла в полуограниченном стержне Глава XXVIII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ К РЕШЕНИЮ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ § 1. Распространение тепла в ограниченном стержне § 2. Неоднородное уравнение теплопроводности § 3. Распространение тепла в бесконечном цилиндре § 4. Распространение тепла в цилиндре конечных размеров § 5. Распространение тепла в однородном шаре § 6. Распространение тепла в прямоугольной пластинке ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Глава XXIX. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ § 2. Уравнения Лоренца — Максвелла § 3. Уравнения Максвелла § 4. Уравнения магнитной гидродинамики § 5. Потенциалы электромагнитного поля § 6. Периодические по времени электромагнитные поля § 7. Условия на бесконечности и граничные условия § 8. Представление электромагнитного поля с помощью двух скалярных функций § 9. Теорема единственности Глава XXX. НАПРАВЛЯЕМЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ § 1. Поперечно-электрические, поперечно-магнитные и поперечно-электромагнитные волны § 2. Волны между идеально проводящими плоскостями, разделенными диэлектриком § 3. Дальнейшее рассмотрение направляемых волн § 4. ТМ-волны в волноводе круглого сечения § 5. ТЕ-волны в волноводе круглого сечения § 6. Волны в коаксиальном кабеле § 7. Волны в диэлектрическом стержне Глава XXXI. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ РУПОРЫ И РЕЗОНАТОРЫ § 1. Секториалькый рупор и секториальный резонатор § 2. Сферический резонатор Глава XXXII. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ § 2. Задача Штурма — Лиувилля § 3. Функция Грина § 4. Экстремальные свойства собственных функций § 5. Разложение по собственным функциям задачи Штурма — Лиувнлля на конечном интервале § 6. Сингулярная задача Штурма-Лиувилля § 7. Разложение по собственным функциям сингулярной задачи Штурма — Лиувилля на полубесконечном интервале § 8. Вычисление спектральной функции (полубесконечный интервал) § 9. Разложение по собственным функциям сингулярной задачи Штурма — Лиувилля на интервале, бесконечном в обе стороны § 10. Разложение по бесселевым функциям Глава XXXIII. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 2. Условия, обеспечивающие возможность интегрального преобразования § 3. Интегральные преобразования в конечных пределах § 4. Интегральные преобразования с бесконечными пределами (общий случай) § 5. Некоторые часто применяемые преобразования с бесконечными пределами Глава XXXIV. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ § 1. Колебания тяжелой нити § 2. Колебания мембраны § 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне § 4. Распространение тепла в круглой трубе § 5. Поток тепла в шаре § 6. Стационарный поток тепла в параллелепипеде Глава XXXV. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ § 1. Задача о колебаниях бесконечной струны § 2. Линейный поток тепла в полуограниченном стержне § 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне, поверхность которого поддерживается при двух различных температурах § 4. Установившееся тепловое состояние бесконечного клина Глава XXXVI. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ § 2. Вертикальный излучатель в однородной среде над идеально проводящей плоскостью § 3. Вертикальный излучатель в однородной среде над средой с конечной электропроводностью § 4. Магнитная антенна над средой с конечной электропроводностью § 5. Поле произвольной системы излучателей § 6. Горизонтальный излучатель над средой с конечной электропроводностью Глава XXXVII. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ § 1. Уравнения движения вязкой жидкости § 2. Движение вязкой жидкости в полупространстве над вращающимся диском бесконечного радиуса § 3. Движение вязкой жидкости в плоском диффузоре |
