Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ

1. Упругопластический изгиб прямого бруса под действием циклически изменяющегося момента

Задача об упругопластическом деформировании бруса прямоугольного сечения при циклическом изгибе в одной из плоскостей симметрии [122] решается при условии справедливости гипотезы плоских сечений и несжимаемости материала. Предположим, что при любом нагружении за пределами упругости упругопластические свойства материала бруса описываются уравнением [122]

Величины являются функциями числа нагружений и определяются из эксперимента. Изгибающий момент при любом нагружении записывается в виде

где ширина сечения; высота сечения; кривизна изогнутой центральной оси бруса при полуцикле; параметр, определяющий границу раздела областей упругой и пластической деформаций при первом нагружении.

Для первого нагружения уравнение (11.2) с учетом (11.1) принимает вид [122]

Принимая безразмерные величины изгибающего момента и кривизны

запишем уравнение (11,3) таким образом:

где относительный момент; относительная кривизна. Из приведенных уравнений видно, что появление пластических деформаций наступит при В процессе разгрузки находим [122]

Здесь и относительный момент и относительная кривизна при чисто упругом нагружении, причем Тогда После полной разгрузки имеем Остаточная относительная кривизна определяется по формуле [122]

или с учетом второго соотношения (11.5)

Вторичные пластические деформации при полной разгрузке появляются, когда или, с учетом когда

Из данного соотношения следует, что при (материал не обладает упрочнением) в брусе не могут возникнуть вторичные пластические деформации. При меньшем значении К (материал обладает значительным упрочнением) остаточные напряжения, сохранившиеся в брусе после упругопластического изгиба, превосходят предел текучести и возникают вторичные пластические деформации; следовательно, при повторных нагружениях изгибающим моментом, изменяющимся по закону пульсирующих циклов, будет происходить циклическое изменение пластических деформаций,

Уравнения связи между напряжениями и деформациями при любом нагружении можно представить в виде [122]

где

Здесь определяет границу раздела областей упругих и пластических деформаций при нагружении. Относительный изгибающий момент при любом нагружении с учетов (11.9) и (11.4) находим по формулам (122]

где

Верхний знак в неравенствах принимается при нечетных а нижний - при четных величины с нулевым индексом равны нулю. Формулы (11.11) выражают зависимость относительного изгибающего момента от относительной кривизны при любом

нагружении. Остаточная относительная кривизна сохранившаяся после разгрузки, определяется по формулам

Если при цикле нагружения упругопластические свойства материала подчиняются обобщенному принципу Мазинга, а при первом нагружении материал обладает линейным упрочнением, то из выражения (11.11), согласно теореме о повторных нагружениях, получаем [122]

где

Зависимости (11.14) определяют величину относительного изгибающего момента при котором для любого гс-го нагружения справедливо равенство Действительно, из (11.14) находим [122]

Данное выражение справедливо при любом поэтому, суммируя, имеем

Здесь — функция числа нагружений. Для идеального материала Тогда [122]

Отсюда, с учетом формул (11.5), следует, что при любом Рассмотрим упругопластический изгиб бруса при многократном знакопеременном нагружении изгибающим моментом

Предположим, что при первом нагружении в крайних волокнах бруса достигаются максимальные напряжения Если данный брус испытывает некоторое число симметричных циклов нагружений изгибающим моментом то такое же напряжение достигается при Чем больше число нагружений, тем меньше Из формулы (11.1) при нечетных еле дует [122]

где Выразим относительную кривизну полуцикла нагружения через из (11.18), тогда из уравнения (11.11) при найдем зависимость из гибающего момента от числа нагружений [122];

Величины и определяются из (11.18) при

По формуле (11.19) для данного значения можно построить графики изменения относительного изгибающего момента в зависимости от числа нагружений.

Максимальное напряжение сттах, возникающее в брусе после значительного числа симметричных знакопеременных нагружений изгибающим моментом согласно теореме о предельном состоянии [122], определяется так:

Поскольку при решении данной задачи

находим [122]

или

Здесь

При малых значениях р(см. (11.23а)) напряжение атахможет превосходить по величине напряжение возникшее при первом нагружении.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление