5. Напряжения и деформации при многократном нагружении

Используя теоремы о переменном нагружении, можно получить формулы, позволяющие определить напряжения и деформации при любом нагружении [121]. Предположим, что при любом

нагружении внешние силы изменяются пропорционально одному параметру

Тогда уравнения, связывающие компоненты тензора напряжений и тензора деформаций при любом нагружении, можно составить аналогично уравнениям (10.56) при переменном нагружении. Действительно, если при нагружении силами возникли напряжения и деформации то при нагружении справедливы уравнения

где

Интенсивность напряжений

является определенной функцией интенсивности деформаций

и зависит от интенсивности деформаций при нагружении,

Данная функция при нагружении до появления пластических деформаций записывается в виде

В этом случае справедливы также следующие соотношения [122]:

Добавляя к соотношениям (10.78) — (10.82) уравнения равновесия и граничные условия, которые соответственно имеют вид [122]

а также условия совместности деформаций, получаем замкнутую систему уравнений для определения компонент тензора напряжений и тензора деформаций Компоненты тензора напряжений и тензора деформаций 8 при нагружении определяются как разности [122]:

Следовательно, еели известны предшествующее напряженное и формированное состояния а также компоненты напряжений и деформаций то по формулам (10,85) можно определить напряжения и деформации при любом нагружении [121, 122].

Упруго пластические свойства материала описываются функцией (10.80), которая согласно принципу Мазинга при нагружении имеет вид

Параметр зависит от числа нагружений, а функция характеризует свойство материала при первом нагружении. Согласно принципу Мазинга (10.86) компоненты тензора напряжений и тензора деформаций представляют собой напряжения и дефор мации, которые возникают при первом нагружении упругопластического тела силами

при условии, что предел текучести материала увеличен в раз.

Используя соотношения (10.85) и (10.86), получаем формулы, определяющие напряжения и деформации при любом нагружении через соответствующие компоненты напряжений и деформаций при первом нагружении. Действительно, поскольку формулы (10.85) справедливы при любом нагружении, составляя последовательна аналогичные соотношения для компонент напряжений имеем [122]

Складывая левые и правые части, находим [122]

Аналогично получаем выражение и для компонент деформаций:

При этом определяются соответственно компонентами напряжений и деформаций путем замены в последних пределах текучести на и сил силами определяемыми соотношениями (10.87).

Таким образом, если известны компоненты тензора напряжений и тензора деформаций при первом нагружении, то по формулам (10.88) и (10.89) можно определить компоненты тензора напряжений и тензора деформаций при любом нагружении.