Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Дифференциальные уравнения равновесия, выраженные в перемещениях при переменном нагружении. Метод последовательных приближений

Известно, что принцип Мазинга не всегда выполняется [122], особенно в тех случаях, когда при предшествующем нагружении сохраняются области упругих деформаций. Тогда приходится накладывать соответствующие ограничения на максимальные значения внешних сил. В этих случаях условия теорем о переменном нагружении также не выполняются. Необходимо построение новых методов решения. Рассмотрим один из таких методов.

В любом случае переменного нагружения напряжения и деформации будут определены, если найдены соответствующие величины Для определения данных величин [122] необходимо решить задачу о нагружении некоторого упругопластического тела, материал которого имеет переменный предел текучести (неоднородная пластичность). При знакопеременном нагружении компоненты девиатора напряжений связаны с компонентами девиатора деформаций следующими уравнениями [122]:

Функцию, связывающую интенсивности напряжений и деформаций представим в виде

При отсутствии пластических деформаций а при наличии пластических деформаций

Если при первом нагружении деформации были упругие, а при переменном нагружении появились пластические деформации, то

Используя зависимость (10.65), преобразуем уравнения (10.64) к виду

или

Деформации связаны с перемещениями уравнениями Коши:

где

Подставляя компоненты напряжений в уравнение равновесия (1.135) и заменяя компоненты деформаций по формулам (10.69) компонентами вектора перемещения, получаем дифференциальные уравнения в перемещениях (аналогично уравнениям Ламе):

где

В этом случае граничные условия в перемещениях имеют вид

где

Следовательно, решение задачи повторного знакопеременного нагружения сводится к решению системы дифференциальных уравнений (10.71), выраженных в перемещениях при граничных условиях (10.73). Решая эту систему уравнений, находим перемещения а значит, и искомые решения:

Система дифференциальных уравнений (10.71) в замкнутом виде не интегрируется, поэтому для ее решения используют метод последовательных приближений 1122]. В качестве первого приближения принимаем решение системы уравнений (10.71) при т. е. при отсутствии пластических деформаций в процессе переменного нагружения. В этом случае разгрузка происходит по упругому закону и справедлива теорема Ильюшина [69] об упругой разгрузке. Перемещения в первом приближении должны удовлетворять дифференциальным уравнениям (10.71), в которых и граничным условиям (10.73), в которых вследствие того что

Зная определяем компоненты деформаций интенсивность деформаций а по формуле (10.66) — функцию

затем по формулам (10.72) находим функции

Для определения перемещений втором приб лижении решаем систему дифференциальных уравнений в перемещениях, которая в данном случае имеет вид

при следующих граничных условиях:

Тогда искомые перемещения во втором приближении определяются как разности

Решения проводят до тех пор, пока решения приближения будут различаться между собой на достаточно малую величину, т. е. на величину, допускаемую точностью решения задачи

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление