Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Основные теоремы циклической пластичности

Теорема о простом нагружении

Данная теорема определяет условия, при выполнении которых обеспечивается простое нагружение при наличии знакопеременных пластических деформаций [122].

Предположим, что при первом нагружении тела силами, изменяющимися пропорционально одному общему параметру,

осуществляется простое нагружение [69], при котором

Принимаем, что

Компоненты напряжений и деформаций не зависят от и которые по теореме Ильюшина [69] связаны соотношением

Согласно (10.36) и (10.38)

Компоненты напряжений также удовлетворяют уравнениям равновесия (1.135) и условиям на поверхности (1.11), а компоненты деформаций уравнениям совместности деформаций (1.149). Кроме того, при первом нагружении справедливы уравнения теории малых упругопластических деформаций, которые с учетом (10.39) и (10.36) принимают вид [122]

Снимем внешние силы и будем производить процесс знакопеременного нагружения, при котором внешние силы будут также изменяться пропорционально одному общему параметру:

При этом в отличие от первого нагружения В данном случае простое нагружение осуществляется при условии, что зависимость между интенсивностями напряжений а и деформаций а также параметром аппроксимируется функцией

где константы; показатель степени в уравнении (10.37). Для доказательства данной теоремы достаточно предположить, что компоненты напряжений и деформаций изменяются пропорционально параметрам и т. е.

причем соотношение, связывающее необходимо определить.

При выполнении условий (10.41) и (10.43) компоненты напряжений удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия (1.135) и граничным условиям на поверхности (1.11), а компоненты деформаций — условиям совместности деформаций (1.149); при этом справедливо условие несжимаемости материала. Из соотношений (10.36) и (10.43) следует, что

Соотношения (10,44) удовлетворяют уравнениям (10.21),

Уравнения (10.42) при выполнении условия (10.39) будут удовлетворены, если параметры и связаны соотношением

Следовательно, если компоненты напряжений и деформаций удовлетворяют условиям (10.43), то все уравнения, характеризующие знакопеременное нагружение, удовлетворяются. Направляющий тензор напряжений,

не зависит от параметра а направляющий тензор деформаций,

не зависит от параметра и только при изменяет знак на обратный, а это означает, что в рассматриваемом случае осуществляется простое нагружение.

Теоремы о переменном нагружении

Теоремы о переменном нагружении позволяют определить компоненты напряжений и деформаций при переменных нагружениях, если известно решение соответствующей задачи при первом нагружении тела, находящегося в естественном ненапряженном состоянии [122].

Первая теорема. Предположим, что при первом нагружении тела внешними объемными и поверхностными силами в нем возникли напряжения и деформации При этом компоненты напряжений удовлетворяют уравнениям равновесия (1.135) и граничным условиям (1.11), а компоненты деформаций — условиям совместности деформаций (1.149). Компоненты напряжений и деформаций связаны уравнениями

где причем в области упругой деформации При знакопеременном нагружении объемными

и поверхностными силами компоненты напряжений также должны удовлетворять уравнениям равновесия (1.135) и граничным условиям (1.11). Используя обозначения (10.17), преобразуем уравнения (1.135) и (1.11) к виду

В условиях знакопеременного нагружения справедливы физические уравнения (10.19) — (10.22). Компоненты деформаций также удовлетворяют условиям совместности деформаций (1.149).

Для построения функции (10.22) воспользуемся принципом Мазинга, согласно которому функция характеризующая упругопластические свойства материала, при знакопеременном нагружении совпадает с функцией характеризующей упругопластические свойства материала при первом нагружении. Если масштаб и увеличить в раз, то

где постоянная материала, которая определяется экспериментально. Наступление текучести материала в его исходном состоянии, определяется величинами а на плоскости с координатами величинами где

Следовательно, — это напряжения и деформации, возникающие в упругопластическом теле при первом нагружении силами

При этом предел текучести в Раз увеличен. Справедлива теорема [122], утверждающая, что

т. е. что напряжения и деформации при знакопеременном нагружении равны разностям напряжений и деформаций существовавших перед началом разгрузки, и некоторых напряжений и деформаций полученных при решении задачи об упругопластическом нагружении тела силами, равными разности сил которые приложены перед началом разгрузки, и сил которые производят знакопеременное нагружение. Величины и определяются напряжениями и деформациями которые вычисляются путем замены сил разностями и предела текучести величиной

Следовательно, если задача об упругопластическом деформировании при первом нагружении решена, то решение задачи о повторном знакопеременном нагружении сводится к выполнению обычных вычислений. Первая теорема о переменном нагружении выполняется только тогда, когда при первом нагружении материал выходит за пределы текучести.

Вторая теорема. Данная теорема [122] позволяет определить компоненты напряжений и деформаций при новом нагружении упругопластического тела после его разгрузки из состояния, в котором оно находилось под действием объемных и поверхностных сил. При этом считаем, что объемные и поверхностные силы, которыми нагружается данное тело, имеют тот же знак, что и соответствующие силы при первом нагружении. Сохраняя обозначения (10.28), убеждаемся, что напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия (1.135) и условиям на поверхности (1.11) с внешними силами

компоненты деформаций условиям совместности деформаций (1.149). При этом компоненты напряжений и деформаций связаны соотношением (10.32), а интенсивности напряжений и деформаций соотношением (10.33). Для справедливо уравнение (10.31).

Применяя обобщенный принцип Мазинга, представим функцию в следующем виде [122]:

постоянная материала, определяемая экспериментально. Сопоставляя все уравнения, которым удовлетворяют компоненты

напряжений и деформаций с уравнениями, которым удовлетворяют компоненты напряжений и деформаций устанавливаем, что — это напряжения и деформации, возникающие в данном упругопластическом теле при нагружении внешними силами (10.52), При этом предел текучести материала увеличен в раз. Тогда, используя соотношения (10.28), находим

Поскольку согласно первой теореме о переменном нагружении определяются по формулам (10.51), запишем (10.54) в виде [122)

Соотношения (10.55) определяют вторую теорему о переменном нагружении.

Обе теоремы о переменном нагружении сформулированы и доказаны [122] для упругопластического тела, свойства которого при циклических нагружениях описываются обобщенным принципом Мазинга. Однако практически они справедливы и при произвольных кривыхциклического деформирования [122].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление