9. Сжатие пластического слоя между двумя параллельными шероховатыми плитами

Задача с сжатии пластического слоя между двумя шероховатыми плитами (рис. 88) решена Прандтлем [283] в предположении, что на поверхности контакта возникают касательные напряжения, достигающие предела текучести

Используя дифференциальные уравнения равновесия

и условие пластичности [283]

находим дифференциальное уравнение относительно одной неизвестной:

Так как полагаем, что является функцией только у. Тогда из уравнения (8.189) получаем

следовательно, Поскольку Произвольная постоянная интегрирования определяется из следующего краевого условия: при

Рис. 88

С учетом (8.190) дифференциальные уравнения равновесия принимают вид

Интегрируя уравнения (8.191), находим

произвольные функции, определяемые из условия пластичности, которое с учетом (8.192) запишем в виде [17]

Данное уравнение удовлетворяется при любых значениях х и у поэтому справедливы следующие соотношения:

Здесь произвольная постоянная. Тогда выражения для напряжений с учетом (8.194) принимают вид

Для определения линий скольжения сравним касательные напряжения, определяемые формулами (8.195) и (6.11). В результате имеем

Учитывая, что находим дифференциальные уравнения линий скольжения:

Разделяя переменные и интегрируя, получаем параметрические уравнения двух семейств линий скольжения [17]: первое семейство

второе семейство

Рис. 89

Из уравнений (8.198) и (8.199) видно, что линиями скольжения являются два ортогональных семейства циклоид (рис. 89). Граничные линии служат огибающими циклоид, т. е. линиями разрыва. Постоянную интегрирования С определяем из следующего условия: при давление на поверхностном слое равно нулю, т. е.

откуда Следовательно,

Таким образом, давление между слоем и плоскостями в направлении х уменьшается по линейному закону (см. рис. 89) [17]. Однако решение Прандтля не позволяет выполнить граничные условия в поперечной плоскости и в средней части