9. Сжатие пластического слоя между двумя параллельными шероховатыми плитами
Задача с сжатии пластического слоя между двумя шероховатыми плитами (рис. 88) решена Прандтлем [283] в предположении, что на поверхности контакта возникают касательные напряжения, достигающие предела текучести
Используя дифференциальные уравнения равновесия
и условие пластичности [283]
находим дифференциальное уравнение относительно одной неизвестной:
Так как
полагаем, что
является функцией только у. Тогда из уравнения (8.189) получаем
следовательно,
Поскольку
Произвольная постоянная интегрирования
определяется из следующего краевого условия: при
Рис. 88
С учетом (8.190) дифференциальные уравнения равновесия принимают вид
Интегрируя уравнения (8.191), находим
произвольные функции, определяемые из условия пластичности, которое с учетом (8.192) запишем в виде [17]
Данное уравнение удовлетворяется при любых значениях х и у поэтому справедливы следующие соотношения:
Здесь
произвольная постоянная. Тогда выражения для напряжений с учетом (8.194) принимают вид
Для определения линий скольжения сравним касательные напряжения, определяемые формулами (8.195) и (6.11). В результате имеем
Учитывая, что
находим дифференциальные уравнения линий скольжения:
Разделяя переменные и интегрируя, получаем параметрические уравнения двух семейств линий скольжения [17]: первое семейство
второе семейство
Рис. 89
Из уравнений (8.198) и (8.199) видно, что линиями скольжения являются два ортогональных семейства циклоид (рис. 89). Граничные линии
служат огибающими циклоид, т. е. линиями разрыва. Постоянную интегрирования С определяем из следующего условия: при
давление на поверхностном слое равно нулю, т. е.
откуда
Следовательно,
Таким образом, давление между слоем и плоскостями в направлении х уменьшается по линейному закону (см. рис. 89) [17]. Однако решение Прандтля не позволяет выполнить граничные условия в поперечной плоскости
и в средней части