Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Вдавливание плоского штампа и жесткого клина в пластическую среду

Большинство задач о вдавливании штампа и клина в пластическую среду имеет замкнутое решение, остальные задачи приводятся к комбинациям краевых задач для канонических систем уравнений. Рассмотрим задачу о пластическом течении при вдавливании

абсолютно жесткого штампа с плоским основанием в жестко-пластическое тело, ограниченное плоскостью (рис. 85) [13, 77, 102]. Допускаем, что трение по поверхности контакта отсутствует. При вдавливании штампа материал, вдавленный штампом, образует по сторонам возвышения. В предельном состоянии штамп движется вниз со скоростью при этом предполагается, что под штампом давление равномерное. Поле скольжения (рис. 85, а) согласно решению Прандтля [283] строится следующим образом. Построение начинается со свободной поверхности слева от штампа. Некоторый участок должен быть пластическим, так как в противном случае невозможно образовать над поверхностью выступ.

Рис. 85

Поскольку на свободной поверхности из условия пластичности для точек этой поверхности получаем

Знак минус взят на основании того, что в направлении происходит сжатие. Так как касательные напряжения на свободной поверхности равны нулю, то линии скольжения пересекают ее под углом 45 и ( Вдоль линии посгоянны, поэтому согласно формулам (6.21) параметры вдоль этой линии также не изменяются. Следовательно, под линией находится равномерное поле напряжений (см. рис, 85, а). При этом вдоль линии скольжения а

Если бы точка пластического участка свободной поверхности была известна, то тогда под линией было бы определено равно мерное поле напряжений, которое характеризовалось бы равнобедренным прямоугольным треугольником Поскольку линия скольжения прямая, линии скольжения семейства справа от представляют собой прямые линии. Исходя из симметрии

задачи утверждаем, что ггод штащтом расположено также рагномерное поле напряжений а значит, и давление под штампом равномерное. Указанные равномерные поля напряжений соединены между собой центрированным нолем Следовательно, линия скольжения в поле является прямой, в поле она переходит в дугу окружности, а в поле в прямую. Это зывает на то, что длина пластического участка свободной поверхности равна ширине штампа, Параметр вдоль линии скольжения а постоянен, а в области линии скольжения а наклонены под углом оси В срязи с этим, используя выражение (6.18) и (8.180), находим

Согласно (6.11) с учетом того, что определяется по формуле (8.181), получаем

Так как напряжения вдоль линии не изменяются, то сила, вдавливающая штамп, при которой наступает пластическое течение, определяется так:

Р. Хилл [224] показал, что решение Прандтля не является единственным, и предложил решение, согласно которому поле скольжения состоит равномерных полей напряжения и соединенных центрированным полем (рис. 85, б). Длина пластического участка свободной поверхности равна половине ширины штампа. Напряжения в равномерных полях напряжений и в центрированном поле остаются такими же, как и в решении Прандтля. Приложенная к штампу сила, при которой наступает пластическое течение, определяется формулой (8.183).

Прагер предложил построить решение задачи о вдавливании штампа в виде комбинаций решений Прандтля и Хилла. Однако это дает право утверждать, что полученные решения могут быть неоднозначными. Поэтому при построении полей линий скольжения следует использовать экспериментальные результаты. Задача о вдавливании штампа выпуклой формы при наличии трения решена В. В. Соколовским [201].

Рассмотрим решение задачи о вдавливании (внедрении) симмет ричного твердого клина (рис. 86) [13, 771 с углом раствора в жестко-пластическую среду, ограниченную плоскостью [224]. Трением по поверхности контакта пренебрегаем. При внедрении клина среда выдавливается по обе его стороны. Граничная линия аппроксимируется прямой. Поле скольжения строится следующим образом. Принимаем, что вдоль А В контактное давление постоянно.

В зонах треугольников и жестко-пластическая среда находится в равномерном напряженном состоянии. Обозначим глубину внедрения клина через длину образующей через При этом давление и длина образующей 1 неизвестны. Обе области равномерного напряженного состояния соединены центрированным полем углом раствора а. Линия образует с горизонтальной осью угол Тогда из рис. 86 следует равенство

Рис. 86

Исходя из несжимаемости материала заключаем, что площади треугольников и равны. Тогда

Решая совместно уравнения (8.183) и (8.184) и исключая из них находим соотношение

из которого определяем а. Во всей ебласти пластической деформации параметр следовательно, где

Приравнивая получаем

где а — среднее давление. Давление определяется по формуле

а полное усилие на единицу длины клина — по формуле

Из формулы (8.188) следует, что усилие вдавливания зависит от угла у и глубины внедрения График зависимости от у показан на рис. 87 [13]. Глубину внедрения считаем заданной.

Рис. 87

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление