Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Упругопластическое состояние пластины с отверстием

Рассмотрим бесконечную пластину с круговым отверстием радиуса а, которая под действием равномерного давления приложенного по контуру данного отверстия, находится в упругопластическом состоянии (рис. 82, а) [13, 17, 77, 102, 200]. Если давление таково, что пластина находится в упругом состоянии, то напряжения определяются методами теории упругости:

Таким образом, в каждой точке пластины реализуется состояние чистого сдвига. При на контуре пластины появляются пластические деформации. С возрастанием давления пластические Деформации распространяются и Еокруг отверстия радиусом

Рис. 82

образуется область пластической деформации (см. рис. 82, а). Напряжения в области упругой деформации при определяются аналогично формулам (8.157):

Напряжения в пластической области должны удовлетворять уравнению равновесия (8.55) и условию пластичности (8.95). На границе раздела областей упругой и пластической деформаций в силу непрерывности напряжений справедливо условие

Условие пластичности Мизеса (8.95) выполняется тождественно, если напряжения представить в виде

Дифференциальное уравнение равновесия (8.55) с учетом (8.160) принимает вид

Решением уравнения (8.161) при краевом условии является выражение

Из (8.16°), полагая находим значение соответствующее данному значению Давление, возникшее на крае отверстия и соответствующее данному состоянию, характеризуется напряжением

Из выражения (8.163) следует, что и растет с увеличением Давление также увеличивается и достигает своего максимального предельного значения, когда При происходит неограниченное утодщение пластинки у края отверстия (см рис, 82, а). Действительно, согласно (7,17 а) имеем

Используя условие несжимаемости материала находим выражение, позволяющее определить утолщение пластины:

При максимальном давлении согласно (8,160) у края отверстия пластины Тогда из (8,165) следует, что а из что при максимальный радиус зоны пластической области может достигать . Используя при решении данной задачи условие текучести Треска — Сен-Венана и интегрируя уравнение (8,55) при краевом условии (8,159), получаем

При этом максимальный радиус зоны пластической облает» . Эпюры распределения напряжений в упругой области (пунктирные линии) и в упругопластическом состоянии (сплошные линии) при а также остаточные напряжения

возникающие после снятия нагрузки, показаны на рис. 82, а.

Рассмотрим неограниченную пластину с круговым отверстием, которая под действием осесимметричной относительно центра отверстия нагрузки, приложенной на контуре, пластина (на бесконености; край отверстия свободен от нагрузки), находится в упругопластическом состоянии (рис. 82, б) [13, 17, 77, 102, 200].

Напряженное состояние в пластической области такой пластины при условии пластичности Мизеса — Генки определяется уравнениями равновесия (8.55 и пластичности (8.95). Краевые условия для данной задачи следующие: на свободном крае отверстия при на бесконечности при Тогда из уравнений (8.160) следует, что при С учетом приведенных условий решение дифференциального уравнения (8.161) имеет вид [102]

Приведенное решение указывает, что с увеличением функция убывает и при На окружности данного радиуса оба семейства характеристик сливаются в одно (рис. 82, б), При

Распределение напряжений показано на рис. 82,б. Для данной задачи вследствие того, что имеют одинаковый знак, условие текучести Треска-Сен-Венана записывается в виде Тогда из дифференциального уравнения равновесия (8.55), с учетом следующих краевых условий: при ; при находим Распределение напряжений показано на рис. 82, s. Семейство характеристик в этом случае представляет собой пучок прямых, исходящих из центра.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление