Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Интегрирование дифференциальных уравнений

Выразим изгибающие моменты в тригонометрической форме через функцию [101, 102]:

Тогда дифференциальное уравнение равновесия (8.131) или (8.138) принимает вид

Уравнение (8.142) легко интегрируется в замкнутом виде при (чистый изгиб) или при условии, что у, где а — постоянная.

Данные условия для круглой пластины выполняются тогда, когда пластина нагружена сосредоточенной силой в центре или равномерно нагружена по окружности, концентричной контуру. В остальных случаях и уравнение (8.142) решается численными методами.

При дифференциальное уравнение (8.142) преобразуется в уравнение [102]

интеграл которого имеет вид

где С — постоянная интегрирования. Для круглой пластины радиусом нагруженной распределенным моментом по наружному контуру (рис. 81, в) [102], краевые условия имеют вид: при при Из первого краевого условия следует, что Поскольку для всех значений то из второго краевого условия устанавливаем предельное значение интенсивности распределенного момента по контуру указанной пластины При данном значении момента исчерпывается несущая способность пластины, т. е. пластина полностью переходит в пластическое состояние.

Для кольцевой пластины с внутренним радиусом и наружным нагруженной равномерно распределенным Моментом [102], краевые условия имеют вид при при Из соотношений (8.141) и (8.144) с учетом второго краевого условия находим

Используя краевые условия с учетом (8.141), (8.144) и (8.145), устанавливаем следующие зависимости:

значения функции соответственно на внутреннем и наружном контурах пластины. Из (8.145) при заданном отношении определяем значение после чего из (8.147) находим предельную интенсивность момента, при которой пластина

полностью переходит в пластическое состояние, Из формулы (8.147) видно, что интенсивность момента достигает предельного значения при

Согласно (8.147) величине соответствует отношение Следовательно, если отношение больше 2,963, то ни какая величина интенсивности равномерно распределенного момента, приложенного на внутреннем контуре кольцевой пластины, не может привести пластину полностью в пластическое состояние, всегда в пластине остается некоторая часть упругой области.

При дифференциальное уравнение (8,142) имеет вид [102]

Решением (8,149) является выражение

где С — произвольная постоянная интегрирования, В зависимости от величины интеграл, входящий в (8,150), берется по разному, так, при

при

при

Для круглой пластины радиусом опертой по контуру и нагруженной сосредоточенной силой которая приложена в центре пластины (рис. 81, д) а значит,

краевые условия следующие: при при Из приведенных условий определяем значение функции в центре пластины и на контуре: при при Используя данные соотношения и интегрируя дифференциальное уравнение находим

Из краевых условий заключаем, что интеграл расходится. Поскольку пределы интегрирования конечны, подынтегральная функция должна обращаться в бесконечность. На основании (8.149) и краевых условий заключаем, что

В рассматриваемом интервале изменения наибольшее значение равно следовательно, Тогда для заданного значения интеграл будет расходиться при Сопоставляя выражения (8.156) и (8.154), определяем величину предельной нагрузки, при которой пластина полностью переходит в пластическое состояние:

Если вместо условия пластичности Хубера — Мизеса использовать условие пластичности Треска — Сен-Венана, что равносильно замене эллипса в координатах главных напряжений (или изгибающих моментов) вписанным в него шестиугольником (рис. 81, е), то решение задач об определении предельных нагрузок при изгибе круглых и кольцевых пластин значительно упрощается. Предельные нагрузки для круглых и кольцевых пластин при разных случаях осесимметричного нагружения приведены в табл. 15 [13].

(см. скан)

Продолжение табл. 15 (см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление