Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Задачи предельного состояния круглых и кольцевых пластин при изгибе

Основные уравнения

Решение задачу об упругопластическом состоянии пластин при изгибе представляет значительные трудности даже в том случае, когда материал не обладает упрочнением [69, 202, 209]. Исследования упругопластического состояния круглых пластин при изгибе показали, что в отличие от изгиба балок несущая способность пластин при изгибе исчерпывается тогда, когда пластина полностью переходит в пластическое состояние.

Рассмотрим некоторые задачи изгиба кольцевых и круглых пластин в чисто пластическом состоянии и определим предельные нагрузки, при которых наступает данное состояние [10, 13, 102]. При решении этих задач принимаем, что серединная плоскость не растягивается, а прямые, перпендикулярные серединной плоскости до деформации, после деформации остаются прямыми и перпендикулярными, Кроме того, компонентами напряжений

Рис. 81 (см. скан)

по сравнению с компонентами напряжений пренебрегаем. Касательные напряжения вследствие симметрии равны нулю. Таким образом, в пластине реализуется плоское напряженное состояние . В сечениях соответственно действуют изгибающие моменты и срезывающая сила (рис. 81, а), которая связана изгибающими моментами дифференциальным уравнением равновесия:

где

При этом расстояние от некоторой точки пластины до серединной плоскости, толщина пластины. Касательные напряжения по кругу уравновешивают внешнюю нагрузку,

Деформации и скорости деформаций в данном случае определяются по формулам

где угол поворота нормали к серединной плоскости пластины. Из (8.132) еледует, что постоянно вдоль нормали к плоскости пластины. Физические уравнения по теории течения для несжимаемого и для жестко-пластического материала принимают вид

Поскольку материал жестко-пластический,

Из (8.133) находим

откуда

Так как является функцией только радиуса, то напряжения также являются функцией только радиуса, следовательно, по высоте пластины они не изменяются. Эпюры напряжений по высоте пластины в пластическом состоянии показаны на рис. 81, б [102]. С учетом изложенного выше изгибающие моменты вычисляются так:

Тогда условие пластичности Хубера-Мизеса имеет вид

Решая совместно уравнения (8.131) и (8.137), получаем нелинейное дифференциальное уравнение

При решении такого уравнения принимаются следующие краевые условия:

а) для круглой пластины в центральной точке

б) для пластины, нагруженной равномерно распределенным моментом интенсивности на контуре при

в) для пластины со свободным или опертым контуром

г) для пластины о заделанным контуром или

Решая дифференциальное уравнение (8.138), при соответствующих краевых условиях определяем предельную нагрузку. Деформации и скорости деформаций через прогибы с учетом того, что записываются в виде

Используя выражения (8.139), находим дифференциальное уравнение скорости прогиба пластины:

При известных изгибающих моментах и интегрируя уравнение (8.140), определяем скорости прогиба, а следовательно, и сам прогиб как функцию радиуса пластины.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление