Равномерно вращающийся диск постоянной толщины

Рассмотрим равномерно вращающийся с угловой скоростью со диск постоянной толщины с внутренним радиусом и наружным [15, 17, 77, 101, 102, 208]. Предположим, что серединная плоскость диска есть Компоненты напряжений малы по сравнению с остальными компонентами, и в решении задачи ими пренебрегают. Поскольку задача симметричная, а напряжения, деформации и перемещения являются функциями только радиуса Величина угловой скорости вращения, при которой в центре диска возникают пластические деформации, определяется по формуле [101]

Рис. 79

Напряжения в области упругой деформации имеют вид

Распределение напряжений показано на рис, пластической области диска напряжения удовлетворяют дифференциальному уравнению равновесия:

и условию пластичности Хубера — Мизеса (8.95) или условию пластичности Треска — Сен-Венана, которое в рассматриваемом случае при имеет соответственно вид

Решение уравнения (8.116) совместно с уравнением (8.95) при наличии члена в (8.116) усложняется. В этом случае необходимо применять численные методы Решение данной вадачи

тельно упрощается, если использовать условие пластичности Треска — Сен-Венана (8.117). Интегрируя уравнение (8,116), получаем

Произвольные постоянные интегрирования определяются из краевых условий:

Из второго краевого условия с учетом (8.120) находим значение угловой скорости вращения, при которой радиус границы, разделяющей области упругой и пластической деформаций, равен

Формулы для определения напряжений следующие [102]: в области упругой деформации

в области пластической деформации

Угловая скорость вращения, при которой диск полностью переходит в пластическое состояние и исчерпывается несущая способность Диска, называется предельной Полагая в выражении получаем

В сплошном диске постоянного сечения в предельном состоянии (при

Рис. 80

На рис. 79, б [17] представлены эпюры напряжений в сплошном диске постоянного сечения в предельном состоянии, В том случае, когда дчек равной толщины g радиусами равномерно вращаетзя с постоянной угловой скоростью вращения (о (рис. 80) [102], задача решается аналогично предыдущей. Произвольные постоянные определяются из краевых условий

После вычисления произвольных постоянных формулы (8.122) принимают следующий вид: в области упругой деформации

в области пластической деформации

Величина угловой скорости вращения, при которой радиус границы, разделяющей области упругой и пластической деформаций кольцевого диска равен определяется [102] выражением

Отсюда при

Эпюры распределения напряжений в диске с отверстием показаны на рис. 80, а, в предельном состоянии — на рис. 80, б. Упругопластическое состояние вращающегося диска переменной толщины при неравномерном нагреве рассмотрено в работах [96, 101, 162]. Расчет вращающегося диска переменкой толщины, неравномерно нагретого по радиусу, по полученным экспериментальным (не схематизированным) диаграммам растяжения материала с помощью приближенного метода переменных параметров упругости приведен в работах И. А. Биргера [10, 12, 13]. Задача о напряженном состоянии в ступенчатом диске при степенном упрочнении решена В. В. Соколовским [200, 204, 212].