Равномерно вращающийся диск постоянной толщины
Рассмотрим равномерно вращающийся с угловой скоростью со диск постоянной толщины с внутренним радиусом
и наружным
[15, 17, 77, 101, 102, 208]. Предположим, что серединная плоскость диска есть
Компоненты напряжений
малы по сравнению с остальными компонентами, и в решении задачи ими пренебрегают. Поскольку задача симметричная,
а напряжения, деформации и перемещения являются функциями только радиуса
Величина угловой скорости вращения, при которой в центре диска возникают пластические деформации, определяется по формуле [101]
Рис. 79
Напряжения в области упругой деформации
имеют вид
Распределение напряжений показано на рис,
пластической области диска
напряжения
удовлетворяют дифференциальному уравнению равновесия:
и условию пластичности Хубера — Мизеса (8.95) или условию пластичности Треска — Сен-Венана, которое в рассматриваемом случае при
имеет соответственно вид
Решение уравнения (8.116) совместно с уравнением (8.95) при наличии члена
в (8.116) усложняется. В этом случае необходимо применять численные методы Решение данной вадачи
тельно упрощается, если использовать условие пластичности Треска — Сен-Венана (8.117). Интегрируя уравнение (8,116), получаем
Произвольные постоянные интегрирования
определяются из краевых условий:
Из второго краевого условия с учетом (8.120) находим значение угловой скорости вращения, при которой радиус границы, разделяющей области упругой и пластической деформаций, равен
Формулы для определения напряжений следующие [102]: в области упругой деформации
в области пластической деформации
Угловая скорость вращения, при которой диск полностью переходит в пластическое состояние и исчерпывается несущая способность Диска, называется предельной
Полагая в выражении
получаем
В сплошном диске постоянного сечения в предельном состоянии (при
Рис. 80
На рис. 79, б [17] представлены эпюры напряжений
в сплошном диске постоянного сечения в предельном состоянии, В том случае, когда дчек равной толщины g радиусами
равномерно вращаетзя с постоянной угловой скоростью вращения (о (рис. 80) [102], задача решается аналогично предыдущей. Произвольные постоянные
определяются из краевых условий
После вычисления произвольных постоянных формулы (8.122) принимают следующий вид: в области упругой деформации
в области пластической деформации
Величина угловой скорости вращения, при которой радиус границы, разделяющей области упругой и пластической деформаций кольцевого диска равен
определяется [102] выражением
Отсюда при
Эпюры распределения напряжений
в диске с отверстием показаны на рис. 80, а, в предельном состоянии — на рис. 80, б. Упругопластическое состояние вращающегося диска переменной толщины при неравномерном нагреве рассмотрено в работах [96, 101, 162]. Расчет вращающегося диска переменкой толщины, неравномерно нагретого по радиусу, по полученным экспериментальным (не схематизированным) диаграммам растяжения материала с помощью приближенного метода переменных параметров упругости приведен в работах И. А. Биргера [10, 12, 13]. Задача о напряженном состоянии в ступенчатом диске при степенном упрочнении решена В. В. Соколовским [200, 204, 212].