4. Упругопластическое состояние дисков
Неподвижный кольцевой диск постоянной толщины, нагруженный по внутреннему контуру
Рассмотрим кольцевой неподвижный диск, находящийся в упругопластическом состоянии (рис. 78) [102, 204].
Рис. 78
Принимаем, что материал, из которого изготовлен диск, не обладает упрочнением, а также, что напряжения равномерно распределены по нормали к средней плоскости диска, но в плоскостях, параллельных средней плоскости, напряжения отсутствуют. Приведенные допущения позволяют заключить, что напряжения, деформации и перемещения для данной задачи — функции только радиуса, а напряженное состояние является плоским
Поскольку касательные напряжения в радиальном и окружном еечениях отсутствуют, то
главные напряжения. Давление, при котором в диске на внутреннем контуре появляются пластические деформации, определяется из условия
При
образуется область пластической деформации
остальная часть кольца
может оставаться упругой.
В области упругой деформации
в области пластической деформации
где
При этом условие пластичности Хубера — Мизеса
удовлетворяется тождезтвенно.
Дифференциальное уравнение равновесия (8.55) с учетом (8.94) принимает вид [102]
После интегрирования (8.96) получаем
где С — постоянная интегрирования.
Постоянные
определяются из следующих краевых условий:
при
Согласно первому условию
где
Постоянная интегрирования С вычисляется из условия (8.97):
Из выражений (8.100) и (8,97) устанавливаем зависимость
Если значение функции
на границе раздела упругой и пластической областей при
обозначить через
и использовать остальные три краевые условия (8.98), то
Из (8.101) при
находим
Функцию
определяем из следующего трансцендентного уравнения [102]:
Значение радиуса границы раздела областей упругой и пластической деформаций
вычисляем по формуле (8.103). При известных постоянных интегрирования
напряжения в области упругой деформации
записываются в виде
Радиальное перемещение в этой области
учетом (8.106) при допущении несжимаемости материала
определяется как
Радиальное перемещение в области пластической деформации с учетом
определяется из условия несжимаемости материала
Используя соотношения
запишем условие несжимаемости материала о учетом (8.94) в виде
Интегрируя данное дифференциальное уравнение при условии равенства радиальных перемещений на границе раздела упругой и пластической областей
находим [102]
Давление, при котором весь материал диска переходит в пластическое состояние и полностью исчерпывается несущая способность, называется предельным. В этом случае
а из формулы (8.103) находим у. Тогда выражение для определения по
данному отношению
записывается в виде
Из формулы (8.99) видно, что давление достигает предельного значения при
т. е.
Величине
согласно (8.112) соответствует
Следовательно, если отношение наружного радиуса к внутреннему больше 2,963, то никакое внутреннее давление не может привести к исчерпанию несущей способности диска. В данном случае всегда