4. Упругопластическое состояние дисков

Неподвижный кольцевой диск постоянной толщины, нагруженный по внутреннему контуру

Рассмотрим кольцевой неподвижный диск, находящийся в упругопластическом состоянии (рис. 78) [102, 204].

Рис. 78

Принимаем, что материал, из которого изготовлен диск, не обладает упрочнением, а также, что напряжения равномерно распределены по нормали к средней плоскости диска, но в плоскостях, параллельных средней плоскости, напряжения отсутствуют. Приведенные допущения позволяют заключить, что напряжения, деформации и перемещения для данной задачи — функции только радиуса, а напряженное состояние является плоским Поскольку касательные напряжения в радиальном и окружном еечениях отсутствуют, то главные напряжения. Давление, при котором в диске на внутреннем контуре появляются пластические деформации, определяется из условия

При образуется область пластической деформации остальная часть кольца может оставаться упругой.

В области упругой деформации

в области пластической деформации

где При этом условие пластичности Хубера — Мизеса

удовлетворяется тождезтвенно.

Дифференциальное уравнение равновесия (8.55) с учетом (8.94) принимает вид [102]

После интегрирования (8.96) получаем

где С — постоянная интегрирования.

Постоянные определяются из следующих краевых условий:

при

Согласно первому условию

где

Постоянная интегрирования С вычисляется из условия (8.97):

Из выражений (8.100) и (8,97) устанавливаем зависимость

Если значение функции на границе раздела упругой и пластической областей при обозначить через и использовать остальные три краевые условия (8.98), то

Из (8.101) при находим

Функцию определяем из следующего трансцендентного уравнения [102]:

Значение радиуса границы раздела областей упругой и пластической деформаций вычисляем по формуле (8.103). При известных постоянных интегрирования напряжения в области упругой деформации записываются в виде

Радиальное перемещение в этой области учетом (8.106) при допущении несжимаемости материала определяется как

Радиальное перемещение в области пластической деформации с учетом определяется из условия несжимаемости материала Используя соотношения

запишем условие несжимаемости материала о учетом (8.94) в виде

Интегрируя данное дифференциальное уравнение при условии равенства радиальных перемещений на границе раздела упругой и пластической областей

находим [102]

Давление, при котором весь материал диска переходит в пластическое состояние и полностью исчерпывается несущая способность, называется предельным. В этом случае а из формулы (8.103) находим у. Тогда выражение для определения по

данному отношению записывается в виде

Из формулы (8.99) видно, что давление достигает предельного значения при т. е.

Величине согласно (8.112) соответствует Следовательно, если отношение наружного радиуса к внутреннему больше 2,963, то никакое внутреннее давление не может привести к исчерпанию несущей способности диска. В данном случае всегда