3. Упругопластическое состояние полого толстостенного цилиндра, находящегося под действием внутреннего давления

Рассмотрим длинный полый толстостенный цилиидр днищами» испытывающий действие внутреннего давления (рис. 77, а) [17, 66, 102, 207], Предположим, что материал, из которого изготовлен цилиндр, является идеально упругопластическим. Пусть коэффициент Пуассона в упругой и пластической областях имеет одина значение, равное 0,5. Это допущение равносильно допущению о несжимаемом материале в областях упругой и пластической деформаций. Поперечные сечения бесконечно длинного цклиндра при деформации согласно условию симметрии остаются плоскими, следовательно, осевая деформация не изменяется по радиусу и длине, т. е. Для простоты принимаем, что хотя это условие справедливо только в отдельных случаях. На основании принятых допущений и закона Гука устанавливаем, что

Напряжения в области упругой деформации [6] определяются по формулам

Область пластической деформации впервые появляется на внутренней поверхности трубы при С увеличением давления пластическая область расширяется, Напряжения

Рис. 77 (см. скан)

в этой области при удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия

а также условию пластичности

Используя физические уравнения по теории малых упругопластических деформаций, которые для нашей задачи принимают вид

а также принимая допущение, что находим

Условие пластичности (8.56) с учетом (8,57) записывается так

Интегрируя уравнение (8,55) и учитывая (857) и (8.58), имеем

Постоянные интегрирования а также величина радиуса раздела областей упругой и пластической деформаций определяются из краевых условий и непрерывности напряжений на границе раздела:

где означает переход из пластической области в упругую, а — из упругой области в пластическую (см. рис, 77, а). Из данных условий находим

Радиус границы, разделяющей области пластической и упругой деформаций, зависит от давления и определяется из уравнения

Уравнение (8.62), решаемое численно или графически, позволяет Для любого значения найти Следовательно, формулы для олре

деления напряжений имеют вид [102]: в области упругой деформации

в области пластической деформации

Материал полого толстостенного цилиндра полностью перейдет в пластическое востояние тогда, когда пластическая область достигнет наружной поверхности трубы Такое состояние полого толстоатенного цилиндра называют предельным, а давление, при котором оно возникло,— предельным. Предельное давление определяется из уравнения (8.62) (при

Предельному состоянию соответствуют следующие напряжения!

На рис. 77, б показано распределение напряжений для различных значений пластического фронта в полом толстостенном цилиндре в отношением радиусов [102, 207]. Равнодействующая напряжений действующих на поперечное сечение этого цилиндра, и является той продольной силой, под действием кото

рой материал цилиндра переходит в плоское деформированное состояние. Данный интеграл можно записать в виде суммы интегралов для пластической и упругой областей:

Подставляя вместо для выражение из (8,64), а вместо выражение из (8.63), получаем, что для упругопластической трубы интеграл (8.67) равен это тождественна результатам для несжимаемой упругой трубы. Следовательно, если допустить несжимаемость материала, то условие плоской деформации в закрытом полом толстостенном цилиндре, находящемся как в упругопластическом, так и в упругом состоянии, выполняется. Поэтому естественно предположить, что принцип Сен-Венана для упругих тел можно распространить и на случай упругопластического состояния тела, и только участки, прилегающие непосредственно к закрытым концам, находятся в напряженном состоянии которое отличается от рассмотренного.

Из эпюр распределения напряжений в пластическом состоянии (см. рис. 77, б) видно, что наибольшее окружное напряжение возникает в точках наружной поверхности. Это согласуется с экспериментами, поскольку разрушение стальных труб, нагруженных внутренним давлением, начинается снаружи.

Радиальное перемещение определяется как решение дифференциального уравнения — которое в областях упругой и пластической деформаций при условии несжимаемости материала записывается в виде

Если свойства материала, из которого изготовлена толстостенная цилиндрическая оболочка, характеризуются диаграммой линейным упрочнением без площадки текучести, то задача решается аналогично [17, 102, 207]. В данном случае дифференциальное уравнение равновесия с учетом принимает вид

причем для Кот Поскольку

Тогда дифференциальное уравнение равновесия (8.69) имеет вид

Интегрируя данное уравнение, а также принимая во внимание соотношения (8,57) и (8.58), устанавливаем, что

Напряжения в области упругой деформации определяются по формулам (8.54), а произвольные пеетоянные из краевых условий (8.60):

Тогда напряжения в полом толстостенном цилиндре, изговтовленном из упрочняющегося материала, в области пластической деформации записываются в виде

Радиус границы, разделяющей области упругой и пластической деформаций, зависит от давления и определяется из уравнения

Данное уравнение, как и в случае идеально упругопластического материала, решается числение или графически,

Если в (8.74) и (8.75) положить 1, т. е. получим формулы (8.62) и (8.64), Справедливые при отсутствии упрочнения. Подставляя значения постоянных интегрирования в (8.54) и (8.70), заключаем, что упрочнение не влияет на закон распределения напряжений в упругой области, а также на радиальные

перемещения как в упругой, так и в пластической области. Нормальная сила в поперечном сечении полого толстостенного цилиндра определяется по формуле [102]

После интегрирования и соответствующих преобразований учетом (8.75) находим получаем тот же результат, что и для трубы, материал которой не обладал упрочнением. Следовательно, осевая деформация рассматриваемого цилиндра равна нулю, если торцы цилиндра не могут смещаться в осевом направлении. Это утверждение выполняется и для цилиндра, у которого осевая сила возникает только за счет давления на днища.

Решение задачи об упругопластическом состоянии полого толстостенного цилиндра при больших деформациях приведено в работах Надаи [123], В. В. Соколовского [207] и др. А. А. Ильюшиным [66] в замкнутом виде решена задача об упругопластическом деформировании полого толстостенного цилиндра при произвольном упрочнении. Решение найдено для полого толстостенного цилиндра, находящегося под действием внутреннего и наружного давления, а также растягивающей силы и изготовленного из несжимаемого материала причем В этом случае справедливы соотношения Подставляя их в условие несжимаемости, находим

Решение данного дифференциального уравнения имеет вид

Деформации, а значит, и интенсивность деформаций определяются соответственно по формулам

Зная диаграмму деформирования по интенсивности деформаций вычисляем интенсивность напряжений,

Для нашей задачи физические уравнения теории малых упругопластических деформаций при с учетом (8.79) принимают вид

Условия равновесия записываются таким образом:

Из (8.82) находим

Решая уравнение (8.80), получаем

Физические уравнения (8.81) с учетом (8.85) после соответствующих иреобразований записываем в виде

Используя краевое условие (при и обозначая интенсивность деформаций при через при через из (8.81) с учетом (8.86) имеем

С помощью краевого условия (при устанавливаем зависимость между

Данная зависимость показывает, что знак постоянной С совпадает со знаком разности давлений Используя уравнение (8.83), из формулы (8.85) находим

Следовательно, постоянные также выражаются через

Из зависимости (8.89) получаем

Тогда учетом (8.87) и (8.90), а также второго уравнения системы (8.86) уравнение (8.83) записывается в виде

Таким образом, при известной диаграмме деформирования по формулам (8.88), (8,89) и (8.91) определяют все постоянные и С). Поэтому напряжения и соответственно перемещения вычисляют по формулам (8.86), (8.87) [17]. При труба из несжимаемого материала в осевом направлении не деформируется, тогда формулы (8.86) — (8.88) принимают вид

Для повышения предельного давления в полой толстостенной оболочке на практике используется так называемое автоскрепление, или автофретирование. Автофретирование заключается в том, что полая толстостенная оболочка нагружается давлением, при котором возникает область пластической деформации. После снятия нагрузки в оболочке возникает поле остаточных напряжений. Если оболочку снова нагрузить, то предельное давление, соответствующее появлению пластических деформаций, повысится.