3. Упругопластическое состояние полого толстостенного цилиндра, находящегося под действием внутреннего давления
Рассмотрим длинный полый толстостенный цилиидр
днищами» испытывающий действие внутреннего давления (рис. 77, а) [17, 66, 102, 207], Предположим, что материал, из которого изготовлен цилиндр, является идеально упругопластическим. Пусть коэффициент Пуассона в упругой и пластической областях имеет одина
значение, равное 0,5. Это допущение равносильно допущению о несжимаемом материале
в областях упругой и пластической деформаций. Поперечные сечения бесконечно длинного цклиндра при деформации согласно условию симметрии остаются плоскими, следовательно, осевая деформация не изменяется по радиусу и длине, т. е.
Для простоты принимаем, что
хотя это условие справедливо только в отдельных случаях. На основании принятых допущений и закона Гука
устанавливаем, что
Напряжения в области упругой деформации [6] определяются по формулам
Область пластической деформации впервые появляется на внутренней поверхности трубы при
С увеличением давления
пластическая область расширяется, Напряжения
Рис. 77 (см. скан)
в этой области при
удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия
а также условию пластичности
Используя физические уравнения по теории малых упругопластических деформаций, которые для нашей задачи принимают вид
а также принимая допущение, что
находим
Условие пластичности (8.56) с учетом (8,57) записывается так
Интегрируя уравнение (8,55) и учитывая (857) и (8.58), имеем
Постоянные интегрирования
а также величина радиуса раздела областей упругой и пластической деформаций
определяются из краевых условий и непрерывности напряжений на границе раздела:
где
означает переход из пластической области в упругую, а
— из упругой области в пластическую (см. рис, 77, а). Из данных условий находим
Радиус границы, разделяющей области пластической и упругой деформаций, зависит от давления и определяется из уравнения
Уравнение (8.62), решаемое численно или графически, позволяет Для любого значения
найти
Следовательно, формулы для олре
деления напряжений имеют вид [102]: в области упругой деформации
в области пластической деформации
Материал полого толстостенного цилиндра полностью перейдет в пластическое востояние тогда, когда пластическая область достигнет наружной поверхности трубы
Такое состояние полого толстоатенного цилиндра называют предельным, а давление, при котором оно возникло,— предельным. Предельное давление определяется из уравнения (8.62) (при
Предельному состоянию соответствуют следующие напряжения!
На рис. 77, б показано распределение напряжений для различных значений
пластического фронта в полом толстостенном цилиндре в отношением радиусов
[102, 207]. Равнодействующая напряжений
действующих на поперечное сечение этого цилиндра,
и является той продольной силой, под действием кото
рой материал цилиндра переходит в плоское деформированное состояние. Данный интеграл можно записать в виде суммы интегралов для пластической и упругой областей:
Подставляя вместо
для
выражение из (8,64), а вместо
выражение из (8.63), получаем, что для упругопластической трубы интеграл (8.67) равен
это тождественна результатам для несжимаемой упругой трубы. Следовательно, если допустить несжимаемость материала, то условие плоской деформации в закрытом полом толстостенном цилиндре, находящемся как в упругопластическом, так и в упругом состоянии, выполняется. Поэтому естественно предположить, что принцип Сен-Венана для упругих тел можно распространить и на случай упругопластического состояния тела, и только участки, прилегающие непосредственно к закрытым концам, находятся в напряженном состоянии которое отличается от рассмотренного.
Из эпюр распределения напряжений в пластическом состоянии (см. рис. 77, б) видно, что наибольшее окружное напряжение возникает в точках наружной поверхности. Это согласуется с экспериментами, поскольку разрушение стальных труб, нагруженных внутренним давлением, начинается снаружи.
Радиальное перемещение определяется как решение дифференциального уравнения —
которое в областях упругой и пластической деформаций при условии несжимаемости материала
записывается в виде
Если свойства материала, из которого изготовлена толстостенная цилиндрическая оболочка, характеризуются диаграммой
линейным упрочнением без площадки текучести, то задача решается аналогично [17, 102, 207]. В данном случае дифференциальное уравнение равновесия с учетом
принимает вид
причем для
Кот
Поскольку
Тогда дифференциальное уравнение равновесия (8.69) имеет вид
Интегрируя данное уравнение, а также принимая во внимание соотношения (8,57) и (8.58), устанавливаем, что
Напряжения в области упругой деформации определяются по формулам (8.54), а произвольные пеетоянные
из краевых условий (8.60):
Тогда напряжения в полом толстостенном цилиндре, изговтовленном из упрочняющегося материала, в области пластической деформации
записываются в виде
Радиус границы, разделяющей области упругой и пластической деформаций, зависит от давления и определяется из уравнения
Данное уравнение, как и в случае идеально упругопластического материала, решается числение или графически,
Если в (8.74) и (8.75) положить 1, т. е.
получим формулы (8.62) и (8.64), Справедливые при отсутствии упрочнения. Подставляя значения постоянных интегрирования
в (8.54) и (8.70), заключаем, что упрочнение не влияет на закон распределения напряжений в упругой области, а также на радиальные
перемещения как в упругой, так и в пластической области. Нормальная сила в поперечном сечении полого толстостенного цилиндра определяется по формуле [102]
После интегрирования и соответствующих преобразований
учетом (8.75) находим
получаем тот же результат, что и для трубы, материал которой не обладал упрочнением. Следовательно, осевая деформация рассматриваемого цилиндра равна нулю, если торцы цилиндра не могут смещаться в осевом направлении. Это утверждение выполняется и для цилиндра, у которого осевая сила возникает только за счет давления на днища.
Решение задачи об упругопластическом состоянии полого толстостенного цилиндра при больших деформациях приведено в работах Надаи [123], В. В. Соколовского [207] и др. А. А. Ильюшиным [66] в замкнутом виде решена задача об упругопластическом деформировании полого толстостенного цилиндра при произвольном упрочнении. Решение найдено для полого толстостенного цилиндра, находящегося под действием внутреннего
и наружного
давления, а также растягивающей силы
и изготовленного из несжимаемого материала
причем
В этом случае справедливы соотношения
Подставляя их в условие несжимаемости, находим
Решение данного дифференциального уравнения имеет вид
Деформации, а значит, и интенсивность деформаций определяются соответственно по формулам
Зная диаграмму деформирования
по интенсивности деформаций вычисляем интенсивность напряжений,
Для нашей задачи физические уравнения теории малых упругопластических деформаций при
с учетом (8.79) принимают вид
Условия равновесия записываются таким образом:
Из (8.82) находим
Решая уравнение (8.80), получаем
Физические уравнения (8.81) с учетом (8.85) после соответствующих иреобразований записываем в виде
Используя краевое условие (при
и обозначая интенсивность деформаций при
через
при
через
из (8.81) с учетом (8.86) имеем
С помощью краевого условия (при
устанавливаем зависимость между
Данная зависимость показывает, что знак постоянной С совпадает со знаком разности давлений
Используя уравнение (8.83), из формулы (8.85) находим
Следовательно, постоянные
также выражаются через
Из зависимости (8.89) получаем
Тогда
учетом (8.87) и (8.90), а также второго уравнения системы (8.86) уравнение (8.83) записывается в виде
Таким образом, при известной диаграмме деформирования по формулам (8.88), (8,89) и (8.91) определяют все постоянные
и С). Поэтому напряжения и соответственно перемещения вычисляют по формулам (8.86), (8.87) [17]. При
труба из несжимаемого материала в осевом направлении не деформируется, тогда формулы (8.86) — (8.88) принимают вид
Для повышения предельного давления в полой толстостенной оболочке на практике используется так называемое автоскрепление, или автофретирование. Автофретирование заключается в том, что полая толстостенная оболочка нагружается давлением, при котором возникает область пластической деформации. После снятия нагрузки в оболочке возникает поле остаточных напряжений. Если оболочку снова нагрузить, то предельное давление, соответствующее появлению пластических деформаций, повысится.