Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Упруголластическое состояние толстостенной сферической оболочки, нагруженной внутренним давлением

Рассмотрим толстостенную сферическую оболочку, находящуюся в упругоплаетическом равновесии и испытывающую равномерно распределенное давление [13, 17, 18, 69, 200, 208] (рис. 76). Вследствие симметрии деформации сдвига и касательные на пряжения равны нулю, а Если внут реннее давление

то оболочка деформируется упруго и напряжения в ней, согласно методам теории упругости 16], определяются по формулам

соответственно внешний и внутренний радиусы оболочки текущий радиус сферы» Распределение напряжений в толстостенной сферической оболочке в области упругой деформации показано на рис. 76 пунктирными линиями. При материал

сферической оболочки на внутренней поверхности переходит в пластическое состояние. При дальнейшее! возрастании давления область пластической деформации расширяется Напряжения в этой области удовлетворяют уравнению равновесия:

Рис. 76

Используя условие пластичности, которое для данной задачи как по условию Мизеса — Генки, так и по условию Треска — Сен-Венана при идеальной пластичности имеет вид

преобразуем уравнение (8.42):

Интегрируя (8.44) при граничных условиях (если то а если то ), находим

Решение данной задачи об определении напряжений в зоне текучести является типичным примером «статически определимой задачи», так как для вычисления напряжений достаточно уравнений равновесия и условия текучести без рассмотрения условий деформаций.

Компоненты деформаций удовлетворяют условию

С учетом зависимостей Генки (при

а также выражений (8.43) преобразуем (8.46) в следующее дифференциальное уравнение:

Решение данного уравнения имеет вид

где С — произвольная постоянная.

Для смешанной упругопластической задачи решение в области упругой деформации получаем из формул (8.41), заменяя в них значениями напряжение на границе раздела областей упругей и пластической деформаций). Неизвестные постоянные определяем из условий непрерывности напряжений и перемещений при переходе из упругой области в пластическую, т. е. при

откуда находим

Распределение напряжений в области пластической деформации показано рис. 76 сплошными линиями. Если давление в толстостенной сферической упругопластической оболочке уменьшить до нуля, то в оболочке возникнут остаточные напряжения. Для их определения необходимо найти разгрузочные напряжения формулам (8.41), заменив знак перед на обратный. Тогда остаточные напряжения определяются как разности:

или с учетом формул (8.45) и (8.41) в области пластической деформации

в области упругой деформации

Формулы (8.50), (8.51) справедливы, когда интенсивность остаточ касательных напряжений не превышает предела текучести. Распределение остаточных напряжений показано на рис. 76,

С увеличением давления область пластической деформации расширяется до тех пор, пока не достигнет наружной поверхности шара Давление, при котором упругая область полностью исчезает и толстостенная сферическая оболочка полностью переходит в пластическое состояние, называется предельным. Предельное давление определяется из граничного условия:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление