Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Упругопластический изгиб стержня (бруса)

Рассмотрим цилиндрический или призматический брус, находящийся в упругопластическом состоянии, с поперечным сечением, имеющем две оси симметрии (рис. 71), причем изгибающий момент лежит в одной из плоскостей симметрии [13, 15, 102]. При этих условиях гипотеза плоских сечений справедлива и в случае, когда изгиб происходит за пределами упругости. Следовательно, для деформаций выполняется зависимость

где у — расстояние от рассматриваемой точки до нейтрального слоя; — радиус кривизны изогнутой оси бруса.

Рис. 71

Принимаем, что коэффициент Пуассона тогда

Поскольку деформации являются линейными функциями координаты у, компоненты тензора деформаций (8.23) удовлетворяют условиям совместности деформаций, а компоненты тензора напряжений — дифференциальным уравнениям равновесия. В каждом сечении при чистом упругопластическом изгибе выполняются условия равенства между внешними и внутренними силами:

Используя зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций, установленную А. А. Ильюшиным, и учитывая, что находим

С учетом (8.26) из второго равенства (8.25) получаем

При упругом деформировании Обозначая границу раздела областей упругой и пластической деформаций через из (8.27) находим

Таким образом, зная диаграмму растяжения, определяем функцию а из (8.28) устанавливаем зависимость между изгибающим моментом и кривизной. Пластические деформации в крайних точках возникают тогда, когда При этом

Учитывая, что из (8.29) имеем

Следовательно, для расчета бруса, работающего в условиях чистого упругопластического изгиба, необходимо знать вид функций и

Предположим, что материал характеризуется диаграммой растяжения с линейным упрочнением без площадки текучести, для которого со Поперечное сечение стержня имеет прямоугольную форму (рис. 72). Подставляя эти значения в (8.28), с учетом (8.29) и (8.30) находим зависимость между изгибающим моментом и кривизной [102] при

Для идеально упругопластического материала при

Когда материал в сечении полностью перейдет в пластическое состояние, наступает предельное состояние. Предельный изгибающий мемент определяется из формулы (8.32):

Рис. 72

Рис. 73

Эпюра напряжений в поперечном сечении балки, изготовленной из материала с линейным упрочнением при упругопластическом изгибе моментом показана на рис, 72, а. Эпюра напряжений в данном сечении при полном исчезновении области упругой деформации, т. е. при достижении изгибающим моментом предельного значения, показана на рис. 72, б. Если брус нагрузить изгибающим моментом (см. рис. 71), вызывающим напряжения, закон распределения которых показан на рис. 72, а, а затем разгрузить, то в брусе возникают остаточные напряжения, которые на основании теоремы Ильюшина о разгрузке определяются так:

где Эпюра напряжений разгрузки носит линейный характер (рис. 72, в). Эпюра остаточных напряжений после разгрузки показана на рис. На рис. 73, а и 73, б показаны эпюры напряжений в сечении балки, изготовленной из идеально пластического материала соответственно при упругопластическом изгибе и в предельном состоянии. Предельный изгибающий момент зависит от формы сечения балки, В табл. 13 приведены значения предельного

Таблица 13 (см. скан)


изгибающего момента для различных форм сечения бруса при чистом изгибе [13).

Решение задачи упругопластичеекого поперечного изгиба, при котором в брусе, помимо нормальных, возникают касательные напряжения, затруднительно. Однако для балок больших пролетов действием касательных напряжений можно пренебречь. Тогда, вследствие того, что изгибающий момент вдоль оси балки от сечения к сечению изменяется, величина определяющая положение упругих и пластических областей по длине балки, также изменяется, т. е.

Рассмотрим балку на двух опорах прямоугольного поперечного сечения (рис. 74), изготовленную из идеально упругопластического

ского материала [13, 17]. Используя зависимости (8.32), (8.33) и (8.30), находим

откуда

Рис. 74

Подставляя в (8.35) момент как функцию координаты, получаем формулу для определения высоты области упругой деформации в различных сечениях балки. Для данной задачи

где половина длины балки; расстояние от силы до рассматриваемого сечения. Тогда из (8.35) с учетом (8.36) получаем

т. е. граница раздела областей упругой и пластической деформаций имеет форму параболы (см. рис. 74). Из (8.37) определяем расстояние, на которое распространяется зона текучести по длине балки в каждую сторону от точки приложения силы Р:

(см. скан)

По известному предельному изгибающему моменту находим предельную нагрузку. Ее значения для некоторых случаев изгиба приведены в табл. 14 [13].

Если стержень не только изгибается, но и растягивается, то действие осевой силы усложняет расчет на изгиб. Нейтральная плоскость, как и при упругом изгибе, смещается. Для идеально пластической балки предельный изгибающий момент и осевая сила связаны соотношением, которое зависит от формы поперечного сечения. Так, например, для прямоугольного поперечного сечения

где предельный изгибающий момент при отсутствии осевой силы, а предельная сила при отсутствии изгибающего момента. Кривые предельного состояния для некоторых профилей бруса показаны на рис. 75 [13].

Рис. 75

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление