Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Упругопластическое кручение стержня

Стержень круглого поперечного сечения диаметром скручивается крутящим моментом (рис. 68, а) [102]. При достижении некоторого значения крутящего момента в наиболее напряженной части поперечного сечения стержня появляются пластические деформации. При решении упругопластической задачи о кручении стержня круглого поперечного сечения предполагается, что плоские поперечные сечения остаются плоскими и за пределами упругости. Поскольку в этом случае все компоненты тензора напряжений, за исключением а также все компоненты тензора деформаций, за исключением равны нулю, то согласно формулам (1,37) и (170) находим

следовательно,

Рис. 68 (см. скан)

Относительный угол сдвига связан с относительным углом закручивания О формулой

где расстояние от центра до рассматриваемой точки сечения стержня. Зависимости (8.2) совместно с (8.3) позволяют при известной диаграмме деформирования материала (рис. 68, б) по заданной величине О определить напряжения Зависимость между часто принимают в виде [69]

Связь между устанавливают из равенства

Учитывая, что а также используя зависимость (8.4), из (8.5) находим

Здесь - полярный момент инерции сечения; деформация, соответствующая пределу текучести (см. рис. 68, б). Для определения напряжений и относительного угла закручивания по заданному крутящему моменту необходимо располагать экспериментальной зависимостью крутящего момента от относительного угла закручивания О (рис. 68, в). Если после нагружения при стержень разгружается, то в результате неравномерного распределения напряжений по сечению в нем возникают остаточные напряжения:

где напряжения, возникающие при нагружении (рис. 68, г); напряжения разгрузки, которые, согласно теореме Ильюшина о разгрузке, определяются по формуле Эпюра напряжений разгрузки линейная (рис. Эпюра остаточных напряжений после разгрузки нагруженного стержня моментом показана на рис. 68, г [102], Следует отметить, что эпюра напряжений в поперечном сечении представляет собой диаграмму сдвига, где по оси абсцисс отложено Аналогично можно определить остаточный относительный угол закручивания:

относительный угол закручивания при нагружении крутящим моментом относительный угол закручивания при разгрузке. Если стержень круглого поперечного сечения, подвергающийся упруго-пластическому кручению, выполнен из материала с линейным упрочнением (рис. 68, д), то функцию Ильюшина можно представить как

Тогда из уравнения (8.6) после соответствующих преобразований находим зависимость крутящего момента от относительного угла закручивания при [102]:

где На рис. показаны эпюры напряжении нагрузки разгрузки а также эпюры остаточных напряжений при упругопластическом кручении данного стержня. Если материал не обладает упрочнением (рис. 68, ж), то , и из (8.9) находим

На рис. 68, з представлены эпюры напряжений возникающих при нагружении при разгрузке и эпюра остаточных напряжений после разгрузки. На рис. показаны упругие и пластические зоны. Граница раздела упругой и пластической зон обозначена Когда зона I полностью исчезает, материал в данном сечении переходит в пластическое состояние и в нем образуется пластический шарнир. Крутящий момент, при котором образуется пластический шарнир, называется предельным В этом случаев (т. е. следовательно, из соотношения вытекает, что (т. е. ; значит, область упругой деформации почти полностью исчезает.

Если материал не обладает упрочнением то с учетом из формулы (8.6) при находим

На рис. 68, и изображена эпюра напряжений в предельном состоянии, когда несущая способность стержня полностью исчерпывается.

Рассмотрим задачу об упругопластическом кручении призматического стержня произвольного постоянного поперечного сечения (рис. 69) [13, 15, 101, 102]. При увеличении крутящего момента в некоторых частях рассматриваемого сечения появляются пластические зоны. При дальнейшем увеличении крутящего момента упругое ядро уменьшается. Когда крутящий момент достигает своего предельного значения материал в сечении полностью переходит в пластическое состояние. В данной задаче все компоненты напряжений равны нулю, за исключением которые не зависят от координаты Через функцию напряжений выражаются так:

На контуре сечения Крутящий момент для односвязной области вычисляется по формуле

Рис. 69

Функция напряжений определяется из условий сплошности деформаций или условий текучести материала и граничных условий. Поскольку в данной задаче поперечные сечения испытывают жесткий поворот в своей плоскости, но искривляются в направлении оси стержня, то

Условие сплошности в этом случае имеет вид

При упругом кручении, используя закон Гука, из равенств (8,12) и (8.15) получаем

Уравнение (8.16) аналогично уравнению для прогиба мембраны под действием равномерного давления, которая натянута на данном контуре (мембранная аналогия Прандтля). При идеально пластическом кручении компоненты напряжений должны удовлетворять условию пластичности:

при условии пластичности Мизеса и при

условин пластичности Треска-Сен-Венана). В этом случае функция напряжений удовлетворяет дифференциальному уравнению

Таким образом, решение задачи о пластическом кручении призматического стержня некруглого сечения сводится к нахождению функции напряжения которая должна удовлетворять условию (8.18).

Рис. 70

Левая часть этого уравнения представляет квадрат абсолютной величины градиента функции (наибольшего уклона поверхности функции напряжений (х, у)). Следовательно, во всех точках поперечного сечения, где материал стержня перешел в пластическое состояние, выполняется условие

Поверхность функции напряжений при пластическом кручении представляет собой поверхность постоянного максимального уклона, которую можно построить на контуре поперечного сечения. Данную поверхность называют поверхностью естественного откоса. (Аналогия с песчаной насыпью установлена А. Надаи). Естественный откос, который образуется в результате песчаной насыпи, дает нам представление о функции напряжений (х,у). На рис. 70 представлены поверхности напряжений при пластическом кручении стержня прямоугольной формы с различным отношением сторон, а также в виде равностороннего треугольника и эллипса. Чисто пластическое состояние стержня называют предельным, а соответствующий этому состоянию крутящий момент — предельным,

(см. скан)

Продолжение табл. 12 (см. скан)

Предельный крутящий момент вычисляют по формуле (8.13). Его значения для некоторых сечений приведены в табл. 12 [13].

Если скручиваемый етержень изготовлен из упрочняющегося материала, то, согласно теории упругопластического деформирования, имеем

причем

Тогда выражение (8,15) с учетом (8,20) принимает вид

где на контуре Решить уравнение (8.21) весьма затруднительно. Некоторые задачи упругопластического кручения стержней некруглого поперечного сечения решены В. В. Соколовским и А. А, Галиным [20, 203].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление