Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Уравнения состояния при условии пластичности Треска — Сен-Венана

Из условия пластичности Треска — Сен-Венана (7.19) следует, что максимальные касательные напряжения развиваются по различным площадкам в зависимости от знака главных напряжений Если имеют разные знаки, то максимальное напряжение возникает в площадках, как показано на рис. 66, а [77, 200], а если одинаковые знаки (например, причем то максимальное касательное напряжение развивается в площадках, параллельных оси (рис. 66, б) [77, 200]. Условие пластичности Треска — Сен-Венана в этих случаях принимает вид при

при

Данные уравнения на плоскости представляют шестиугольник (рис. 67).

Рис. 66

Таким образом, задача плоского напряженного состояния при условии пластичности Треска — Сен-Венана упрощается по сравнению с задачей пластичности Мизеса — Генки, так как вместо эллипса рассматривается шестиугольник. Согласно ассоциированному закону течения отклонение главных скоростей деформаций и равно отношению направляющих косинусов нормали к шестиугольнику в рассматриваемой точке 169, 77, 89, 102, 157, 200]. Главная скорость деформации определяется из условия несжимаемости: внутренние точки отрезков шестиугольника назовем соответственно режимами а все точки вершины шестиугольника — соответственно режимами Тогда поле скоростей деформаций определяется из следующих соотношений [157].

Рис. 67

В режиме

Здесь произвольное число,

Рассмотрим случай, когда когда главные напряжения имеют разные знаки. Данному случаю соответствуют режимы и Для режима Согласно ассоциированному закону Из условия несжимаемоети получаем Системы уравнений для напряжений,

и для скоростей деформаций,

формально полностью совпадают с соответствующими системами для случая плоской деформации. Аналогично выводы делаются и для режима АВ.

Рассмотрим случай, когда т. е. когда главные напряжения имеют одинаковые знаки. Данному случаю соответствуют режимы (вертикальные и горизонтальные линии шестиугольника). Для режима Согласно ассоциированному закону Из условия несжимаемости получаем Для режима Условие пластичности Треска — Сен-Венана (7.25) для удобства запишем в виде

Для режима Условие пластичности удовлетворяем следующей подстановкой:

где неизвестная функция. Компоненты тензора напряжений для плоского напряженного состояния о учетом (7.29) определяются [77, 200] как

Здесь угол между первым главным направлением и осью х, который необходимо определить;

Дифференциальные уравнения равновесия (7.15) с учетом (7.30) принимают вид [77]:

Получили систему двух дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций и Исследуя данную систему по общему методу (см. § 2), устанавливаем, что система (7.31) имеет одно семейство действительных характеристик:

Это позволяет утверждать, что данная система является парабо» лической. Интегрируя уравнения (7.32), получаем [77]

Согласно (7.33) характеристики — прямые линии, наклонные к оси х под углом следовательно, они совпадают с линиями скольжения, т. е. с прямыми траекториями главных напряжений.

Общее решение первого уравнения системы (7.32) можно записать в виде [77]

Функция определяется из граничных условий. С учетом (7.33) из второго уравнения системы (7.31) найдем, что вдоль характеристической линии выполняется условие

Вычислив производные из (7,34) и проинтегрировав второе уравнение системы (7.31), получим общее решение:

произвольная функция, которая определяется по заданным граничным условиям. Равномерное распределение напряжений описывают интегралы Произвольные функции определяются из условий, что значения функций и заданы вдоль некоторой кривой С на плоскости Поскольку кривая С является характеристикой, решение этой задачи (задачи Коши) будет неопределенным. Для режимов (угловые точки — сингулярные режимы) скорости деформаций равны:

условие пластичности имеет вид При этом для режима для режима Из-за двух условий текучести на ребре призмы необходимо ввести дополнительную функцию Дифференциальные уравнения равновесия удовлетворяются. Аналогичное течение рассматривается в режиме Рассматриваемые режимы удовлетворяют равномерному гидростатическому напряженному состоянию (в плоскости х, у). Рассмотрим режим который соответствует одноосному растяжению Скорости деформаций будут линейными комбинациями неотрицательными коэффициентами к течения в соседних режимах и т. е. Аналогичный вид течения наблюдается и в других одноосных режимах Разрывы в решениях задач при плоском напряженном состоянии рассмотрены в работах [61, 64, 224].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление