Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Уравнения состояния при условии пластичности Мизеса — Генки

Дифференциальные уравнения равновесия (7.15) и условие пластичности Мизеса — Генки (7.18) содержат три компоненты напряжений Следовательно, данная система уравнений пластического равновесия в компонентах напряжения может решаться независимо от уравнений (7.17) или (7.17а), содержащих компоненты перемещения или компоненты скоростей перемещения. Таким образом, задача о нахождении напряжений в условиях плоского напряженного состояния при заданных на поверхности напряжениях является статически определимой.

Условие пластичности Мизеса - Генки в виде (7.18а) можно удовлетворить, если принять, что главные напряжения определяются формулами (7,7) при Дифференциальные уравнения равновесия (7.15) с учетом (7.8) при после некоторых преобразований принимают вид [200]

Таким образом, напряжение состояние в данном случав вписывается системой двух дифференциальных уравнений относительна двух неизвестных функций и

Свойства решений системы (7.20) и методы их пострвения зависят от того, к какому типу (гиперболическому, параболическому или эллиптическому) данная «иетемэ принадлежит. Для определения типа данной еистемы рассмотрим некоторую линию которой заданы функции и Для интегральной поверхности, проходящей через имеем соотношения [77]

Касательная плоскость к интегральной поверхности вдоль опредеда ляетоя частными производными

Указанные производные вычисляются из уравнений (7.21) и (7.20), так как на поверхности они являются линейными алгебраическими уравнениями. После соответствующего вычисления находим дифференциальные уравнения характеристических линий [200]:

и соотношения вдоль них между неизвестными функциями со

Таким образом, исследуемая исходная система дифференциальных уравнений (7.20) имеет два различных семейства действительных характеристик. При это возможно, если или система дифференциальных уравнений (7,20) является гиперболической. Точки на эллипсе, соответствующие гиперболичности системы уравнений (7.20), очерчены жирными линиями (см. рис. 65) [77]. При это возможно, когда со принимает одно из значении система дифференциальных уравнений (7.20) имеет одно семейство действительных характеристик, следовательно, данная система является параболической. При действительные характеристики не существуют и система дифференциальных уравнений (7.20) является эллиптической. Следовательно, при решении дифференциальных уравнений (7.20) могут встретиться различные области (гиперболичности, параболичности, эллиптичности), для которых граница перехода заранее неизвестна, Это затрудняет решение многих задач плоского

напряженного состояния по сравнению с решеем соответствующих задач плоской деформации. Если напряжений известны, то система уравнений (7.17а) для скоростей становится линейной с переменными коэффициентами.

В области гиперболичности уравнений для напряжений уравнения для скоростей также гиперболические, причем характеристики обеих систем совпадают. Предположим, что на линии которая не является линией разрыва скорости, задана скорость. Выберем в произвольной точке линии систему координат х, у, причем ось х направим по касательной к Вдоль линии известны производные а производные ограничены и однозначно определяются из уравнений (7.17а), кроме случая, когда Условие выполняется вдоль характеристики напряженного состояния. Действительно, предположим, что напряжения непрерывны и известны на линии тогда вдоль данной линии производные известны, а определим из уравнений равновесия (7,15). Производную найдем из условия текучести (7.18), продифференцировав его предварительно по

Если то условие означает, что вдоль характеристической линии скорость относительного удлинения равна нулю. Такое же условие выполняется вдоль характеристик второго семейства. Данные условия могут быть представлены дифференциальными уравнениями, аналогичными уравнениям, которые выведены Хиллом [224] и позволяют вычислять скорости вдоль характеристических линий.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление