Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Уравнения плоского деформированного состояния, выраженные в скоростях перемещений. Поля скоростей перемещения

Зная напряжения скорости перемещений найдем, интегрируя систему дифференциальных уравнений

Система (6.32) так же, как и система уравнений (6.12), является гиперболической, а ее характеристики совпадают с линиями скольжения. Составим уравнения для скоростей перемещения в направлении линий скольжения. Для этого обозначим проекции вектора скорости на направление координатных осей через а на направление координатных осей х и у — через Как видно из рис. 58 [102],

Дифференцируя данные уравнения соответственно по находим

Учитывая соотношения

а также используя второе уравнение системы (6.32), получаем

Уравнения (6.33) называются уравнениями для скоростей перемещений вдоль линий скольжения. Первое уравнение справедливо при перемещении вдоль линии екольжения а, а второй - вдоль линии скольжения Из уравнений (6.33) следует, что изменение полной скорости вдоль линий скольжения равно нулю.

Рис. 58

Рассмотрим поля скоростей перемещений, соответствующих простым полям напряжений. Согласно уравнениям (6.33) составляющие скорости перемещений вдоль каждой из прямых линий постоянны. В случае равномерного поля напряжений (см. рис. 57, в) скорости перемещений в направлении линий скольжения вдоль этих линий остаются также постоянными. Часто решение задачи плоской деформации невозможно построить без разрывов в величинах

напряжений (скоростей перемещений) или их производных. Примером разрыва в величине напряжения может служить разрыв нормального напряжения в предельном состоянии изогнутой балки. При переходе через нейтральную плоскость напряжение изменяется скачком от до Линию разрыва в напряжениях обозначим через L - (рис. 59, а) [102]. Нормальные и касательные напряжения по обе стороны от линии разрыва напряжений показаны на рис. 59, а. Исходя из условия равновесия, заключаем, что разрыв возможен только для напряжений Условие пластичности справедливо по обе стороны от линии разрыва данном случае (рис. 59, а) условие пластичности записывается в виде

Отсюда

причем по обе стороны линии разрыва имеет различные знаки.

Рис. 59

При этом скачок в величине напряжения определяется выражением

а скачок в величине среднего нормального напряжения — выражением

Касательное напряжение на линии разрыва максимально следовательно, линия разрыва в напряжениях не совпадает с линией скольжения или с огибающей линии скольжения.

Линию разрыва можно рассматривать как некоторый след бесконечно тонкого слоя, разделяющего две пластические области. Это вытекает из того, что нормальные и касательные напряжения в тонком слое в окрестности линии разрыва постоянны, а нормальные напряжения по толщине слоя резко изменяются и условие пластичности в данном слое не выполняется. Допустим, что линия L (рис. 59, б) [102] является такой линией разрыва в скоростях перемещений. Ясно, что разрыв может быть только в составляющей скорости касательной к линии разрыва ибо разрыв в нормальной составляющей к линии разрыва означал бы появление трещины в теле. Поэтому линию разрыва в скоростях перемещений представляют как предельное положение слоя, в котором резко изменяется, остается постоянной. Запишем для этого случая геометрические уравнения:

Соотношения (6.37) указывают на то, что при уменьшении толщины слоя (рис. 59, б) скорость деформации сдвига непрерывно возрастает, а остальные компоненты скоростей деформаций почти не изменяются. Для идеально пластического материала выражения зависимостей скоростей деформаций от напряжений согласно теории течения имеют вид

где — интенсивность скорости деформаций, которая в случае не сжимаемого материала и плоской деформации определяется как

Из формулы (6.39) следует, что с уменьшением толщины слоя интенсивность скоростей деформаций непрерывно возрастает за счет возрастания скоростей угловой деформации. Тогда на основании формул (6.38) делаем вывод, что с уменьшением толщины напряжения и стремятся к что обычно характерно для площадок, совпадающих линиями скольжения и перпендикулярных им. Поэтому линия разрыва скоростей перемещений совпадает линией разрыва скоростей скольжения или огибающей линии скольжения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление