Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Линеаризация гиперболической системы дифференциальных уравнений. Граничные условия

Нелинейная система дифференциальных уравнений (6.12) в частных производных гиперболического типа, как отмечалось в работах Леви [87], может быть линеаризована. Действительно, если принять за неизвестные функции параметры и в уравнения подставить значения из (6.18), то после небольших преобразований [102] дифференциальные уравнения гиперболичен

ского типа сводятся к системе однородных квазилинейных дифференциальных уравнений

Система (6.19) путем обобщения переменных может быть приведена к линейной [196]. Если то, дифференцируя данные выражения по х, а затем по у, находим

Решая систему уравнений (6.20) относительно частных производных

где

Определитель системы алгебраических уравнений (6.20) называют якобианом преобразования системы дифференциальных уравнений (6.19).

С помощью выражения (6.21) дифференциальные уравнения (6.19) преобразуются в следующую систему:

Систему (6.23) линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами называют канонической. Она не эквивалентна системе (6.19), так как в процессе преобразования мы сократили (6.19) на якобиан тем самым потеряв решения, обращающие якобиан в нуль. Из выражения

следует, что якобиан обращается в нуль только в таких случаях; В первом случае поле напряжений является равномерным, а в двух других —

простым. Решение системы линейных дифференциальных уравнений (6.23) значительно проще, чем решение системы дифференциальных уравнений (6.12). Методы, разработанные для решения системы (6.23), приведены в работах [154—157, 200, 206, 211, 224, 226]. Чтобы решить задачу об определении напряжений при пластической плоской деформации, необходимо к уравнениям (6.12) или (6.23) добавить граничные условия для напряжений, т. е. необходимо располагать величинами на поверхности тела. Выделим элемент с нормалью на поверхности тела (рис. 53, а) [101]. Нормаль с осью х составляет угол Предполагаем, что нормальные и касательные напряжения на поверхности заданы.

Рис. 53

Условия, которым должны удовлетворять на поверхности величины определяются решением системы уравнений

относительно

где h - целое число. Если на поверхности касательные напряжения отсутствуют, т. е. условия (6.26) имеют вид

В частном случае, когда поверхность тела является плоскостью (рис. 53, б) [102],

Таким образом, зная величины на поверхности тела, по формулам (6.17) можно найти а затем по формулам (6.11) определить напряжения.

Решение краевой задачи плоской деформации иногда удается построить на свойствах линий скольжения. Действительно, если известны поле линий скольжения и значения параметров на них, то тогда в каждой точке будут известны и , а следовательно, и напряжения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление